Udowodnij tożsamość

[Pawel9922]

Witam mam problem z udowodnieniem takiego czegoś. Prosiłbym o jakieś wskazówki.
\(\displaystyle{ \arg \left( z _{1} \cdot z _{2} \right) = \arg z _{1} + \arg z _{2}}\)

[ares41]

Niech \(\displaystyle{ z_1=|z_1| \left( \cos{ \alpha_1 }+i\sin{ \alpha_1} \right) \text{ i }\ z_2=|z_2| \left( \cos{ \alpha_2 }+i\sin{ \alpha_2} \right)}\)
Policz \(\displaystyle{ z_1z_2}\)

[Pawel9922]

i wyjdzie mi wtedy że \(\displaystyle{ \arg z _{1} + \arg z _{2} = \alpha + \beta}\)
oraz że \(\displaystyle{ \left| z_1 \right| \cdot \left| z_2 \right| \left( \cos \left( \alpha + \beta \right) + i \sin \left( \alpha + \beta \right) \right)}\) czyli że argument tego to także \(\displaystyle{ \alpha + \beta}\)

[ares41]

Tak. ( przy wcześniejszych oznaczeniach zamiast \(\displaystyle{ \alpha , \; \beta}\) byłoby odpowiednio \(\displaystyle{ \alpha_1 , \; \alpha_2}\) )

Po drodze korzysta się ze wzorów na sinusa i cosinusa sumy.