Działania na liczbach zespolonych - podstawy.

[Kamlor]

Witam, mam do rozwiązania następujące zadania i nie mam pomysłu, jak je ugryźć.

Zadanie 1 polega na wykonaniu takiego działania:
\(\displaystyle{ 3\left(\cos \frac{ \pi }{5} + i\sin \frac{ \pi }{5}\right)\left(2-2i\right)}\)
Rozumiem, że muszę przejść całkowicie do postaci trygonometrycznej lub całkowicie do algebraicznej? Stąd, że ani jedna wersja, ani druga nie chce mi wyjść. Proszę o pomoc.

Zadanie 2 to kwestia obliczenia następującego wyrażenia:
\(\displaystyle{ \left(1+i\sqrt{3} \right) ^{8}}\).
Dochodzę do momentu, w którym otrzymuję:
\(\displaystyle{ 256\left(\cos \frac{8}{3} \pi + i\sin \frac{8}{3} \pi\right)}\).
Nie wiem, co zrobić z tym osiem trzecich pi. Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam!

[miki999]

Rozumiem, że muszę przejść całkowicie do postaci trygonometrycznej lub całkowicie do algebraicznej? Stąd, że ani jedna wersja, ani druga nie chce mi wyjść. Proszę o pomoc.

Dobrze rozumiesz. Pokaż obliczenia.

Nie wiem, co zrobić z tym osiem trzecich pi.

\(\displaystyle{ \cos(x)=\cos(x-2\pi)}\)

[Kamlor]

Co do pierwszego zadania, to już to łapię, przeoczyłem po prostu coś w obliczeniach.
Co do drugiego, to mam jeszcze pewną wątpliwość.
Rozumiem, że \(\displaystyle{ \cos ( x) = \cos ( x - 2 \pi )}\) występuje tylko dla tego konkretnego przykładu?
Bo przykładowo, gdy otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{49}{4} \pi}\), to musimy użyć innego równania?

[miki999]

Co do pierwszego zadania, to już to łapię, przeoczyłem po prostu coś w obliczeniach.

Częsta przypadłość w przypadku tych liczb

o musimy użyć innego równania?

W takim razie: \(\displaystyle{ \cos x=\cos(x \pm 2k\pi), \quad k \in \mathbb{N}}\). A wynika to z tego, że sinus i kosinus są funkcjami okresowymi o okresie \(\displaystyle{ 2 \pi}\).

[Kamlor]

Dzięki za podpowiedzi, objaśniło mi to wiele.
Teraz mam problem z takim przykładem:

Mam obliczyć równania w zbiorze liczb zespolonych. Wiem, że wiąże się z to z deltą, pierwiastkami i generalnie zasada podobna jak liczenie równania kwadratowego. Co jednak dzieje się w takim przypadku?
\(\displaystyle{ z ^{2} + 3z + 3 - i = 0}\)

Rozumiem, że a=1, b =3, c=3 - i.
Ale przy liczeniu delty dochodzę do momentu, kiedy delta wychodzi równa -3 + 4i. Co w związku z tym wynikiem robimy dalej?

[Psiaczek]

Ale przy liczeniu delty dochodzę do momentu, kiedy delta wychodzi równa -3 + 4i. Co w związku z tym wynikiem robimy dalej?

szukamy \(\displaystyle{ x,y \in R}\) takich, że \(\displaystyle{ (x+iy)^2=-3+4i}\)

\(\displaystyle{ (x^2-y^2)+i2xy=-3+4i}\)

porównując części rzeczywiste i urojone dostaniemy układ \(\displaystyle{ x^2-y^2=-3,xy=2}\)

rozwiązania tego układu to \(\displaystyle{ x=1,y=2 \vee x=-1,y=-2}\)

zatem pierwiastkami z liczby \(\displaystyle{ -3+4i}\) są \(\displaystyle{ 1+2i}\) oraz \(\displaystyle{ -1-2i}\). Dowolny z tych pierwiastków możesz wstawić jako pierwiastek z delty do wzorów równania kwadratowego.