Znaleźć rozwiązania

ugabuga333 · Post autor: **ugabuga333** » 26 lis 2011, o 06:46

\(\displaystyle{ z^{4} - 30 z^{2} + 289 = 0}\)

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 26 lis 2011, o 07:56

Hm, najłatwiej rozwiązać to jak zwykłe równanie dwukwadratowe (bikwadratowe), podstawić pomocniczą zmienną i oczywiście pamiętać, że poruszamy się w zbiorze liczb zespolonych, więc rozwiązań będzie 4.

ugabuga333 · Post autor: **ugabuga333** » 26 lis 2011, o 15:47

A mógłby ktoś podać poprawne odpowiedzi ? Żebym wiedział czy dobrze robię ?

ares41 · Post autor: **ares41** » 26 lis 2011, o 15:48

To Ty pokaż swoje rozwiązania, a my sprawdzimy.

ugabuga333 · Post autor: **ugabuga333** » 26 lis 2011, o 16:27

A więc podstawiam \(\displaystyle{ t= z^{2}}\) i z tego wychodzi mi \(\displaystyle{ t_{1} = 15-8i}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2} = 15+8i}\) A więc \(\displaystyle{ z_{1} = \sqrt{15-8i}}\) \(\displaystyle{ z_{2} = - \sqrt{15-8i}}\) \(\displaystyle{ z_{3} = \sqrt{15+8i}}\) \(\displaystyle{ z_{4} = - \sqrt{15+8i}}\)
Poprawnie ?-- 26 lis 2011, o 19:47 --Mógłby ktoś sprawdzić te rozwiązania czy są dobrze ???
A jeżeli nie, to jak powinny wyglądać poprawne ???

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 26 lis 2011, o 23:48

Rozwiązanie dobre - bierzesz teraz pod uwagę tylko \(\displaystyle{ z_{1}}\) i \(\displaystyle{ z_{3}}\) - oba pierwiastki przyjmują 2 wartości, wyznacz je korzystając ze wzoru de Moivre'a bądź z postaci algebraicznej liczby zespolonej.

ugabuga333 · Post autor: **ugabuga333** » 27 lis 2011, o 00:05

Czemu biorę pod uwagę tylko \(\displaystyle{ z_{1}}\) i \(\displaystyle{ z_{3}}\)
?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 27 lis 2011, o 00:50

Bo jeszcze nie otrzymałeś jawnej (czyli algebraicznej) postaci liczby zespolonej - trzeba ją zatem wyliczyć z tych pierwiastków, a jeśli zrobisz to również z tymi pierwiastkami ze znakiem "minus" to każde rozwiązanie otrzymasz dwukrotnie bo łącznie ich będzie osiem.

ugabuga333 · Post autor: **ugabuga333** » 27 lis 2011, o 04:05

To mógłbyś pokazać jak ? Bo jak chcę zamienić \(\displaystyle{ 15-8i}\) na postać trygonometryczna najpierw by moc potem skorzystac ze wzoru de moivra to wychodza mi dziwne sinusy i cosinusy i nie wiem jak sie za to zabrac ;/

ares41 · Post autor: **ares41** » 27 lis 2011, o 11:57

Nie musisz korzystać z postaci trygonometrycznej.
Oznacz sobie \(\displaystyle{ \sqrt{15-8i} =a+bi}\)
Podnieś stronami do kwadratu i porównaj części rzeczywiste i urojone.

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 27 lis 2011, o 13:41

Mhm, czyli tak jak napisałem 2 posty wcześniej - wyznaczasz z postaci algebraicznej liczby zespolonej, po podstawieniu o którym napisał ares41 porównujesz współczynniki przy częściach rzeczywistych oraz urojonych powstałych liczb.

ugabuga333 · Post autor: **ugabuga333** » 27 lis 2011, o 14:30

W takim razie z obu ( \(\displaystyle{ z_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ z_{3}}\) ) wychodzi mi to same równanie czwartego stopnia ( \(\displaystyle{ a^{4} - 15 a^{2} - 16 = 0}\) ) I z tego licze " a " potem podstawiam do " b " i rozwiązaniem całego zadania będą 4 różne liczby zespolone tak ???
I zawsze robi się tego typu zadania tym schematem ???

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 27 lis 2011, o 22:17

Nie no, coś jest nie tak
Tak jak napisał ares41, należy rozpisać:
\(\displaystyle{ \sqrt{15-8i} =a+bi}\)
Teraz podnieś stronami to równanie do kwadratu i oblicz współczynniki \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\)

ugabuga333 · Post autor: **ugabuga333** » 28 lis 2011, o 00:47

\(\displaystyle{ \sqrt{15-8i} =a+bi}\)
\(\displaystyle{ 15 - 8i = a^{2} - b^{2} + 2abi}\)
\(\displaystyle{ a^{2} - b^{2} = 15}\)
\(\displaystyle{ 2ab = -8 \Rightarrow b = \frac{-4}{a}}\)
\(\displaystyle{ a^{2} - \left( \frac{-4}{a} \right) ^{2} = 15}\)
\(\displaystyle{ a^{4} - 15 a^{2} - 16 = 0}\)
?
No i z \(\displaystyle{ z_{3}}\) wychodzi takie samo równanie.
To co robię źle
???

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 28 lis 2011, o 01:18

OK, faktycznie, myślałem że podstawiasz do wyjściowego równania.
W takim razie wylicz \(\displaystyle{ a}\) pamiętając, że tym razem musi być to liczba nieujemna.