Wyrazić funkcję

[ugabuga333]

1.)
\(\displaystyle{ \sin(6x)}\) przez funkcje \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ \cos x}\)
2.)
\(\displaystyle{ \cos(3x)}\) przez funkcję \(\displaystyle{ \cos x}\)

[kolorowe skarpetki]

\(\displaystyle{ \cos (3x)=\cos (2x+x)=\ldots}\)

Skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ \cos(x+y)=\cos x \cos y- \sin x \sin y}\) oraz ze wzorów na \(\displaystyle{ \sin 2x}\), \(\displaystyle{ \cos 2x}\).Odpowiedź \(\displaystyle{ \framebox{\cos x(4 \cos ^2 x -3)}}\).

[ugabuga333]

A co do podpunktu pierwszego ?

[ares41]

Skorzystaj ze wzoru de Moivre'a i rozwinięcia dwumianowego.

[kolorowe skarpetki]

Podobnie, najpierw możesz skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha}\). Później policz \(\displaystyle{ \sin 3x}\) korzystając m.in. ze wzoru \(\displaystyle{ \sin(x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 3x}\) - tutaj skorzystasz z obliczeń zawartych w zadaniu 2.

[ugabuga333]

A jak się ma to liczb zespolonych skoro widzę, że operujemy tutaj tylko na funkcjach trygonometrycznych ?

[ares41]

1.
Ze wzoru de Moivre'a mamy
\(\displaystyle{ (\cos x + i\sin x )^{6}=\cos{6x}+i \sin {6x}}\)
Z drugiej strony mamy
\(\displaystyle{ (\cos x + i\sin x )^{6}= \sum_{k=0}^{6}{6\choose k}i^{6-k}\sin^{6-k}x\cos^{k}x}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \cos{6x}+i \sin {6x}=\sum_{k=0}^{6}{6\choose k}i^{6-k}\sin^{6-k}x\cos^{k}x}\)
więc
\(\displaystyle{ \text{Im} \left( \cos{6x}+i \sin {6x} \right) =\text{Im} \left( \sum_{k=0}^{6}{6\choose k}i^{6-k}\sin^{6-k}x\cos^{k}x \right)}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sin{6x}=\text{Im} \left( \sum_{k=0}^{6}{6\choose k}i^{6-k}\sin^{6-k}x\cos^{k}x \right)}\)