1.)
\(\displaystyle{ \sin(6x)}\) przez funkcje \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ \cos x}\)
2.)
\(\displaystyle{ \cos(3x)}\) przez funkcję \(\displaystyle{ \cos x}\)
Wyrazić funkcję
-
- Użytkownik
- Posty: 415
- Rejestracja: 12 lis 2011, o 15:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 400
- Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdynia
- Pomógł: 64 razy
Wyrazić funkcję
\(\displaystyle{ \cos (3x)=\cos (2x+x)=\ldots}\)
Skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ \cos(x+y)=\cos x \cos y- \sin x \sin y}\) oraz ze wzorów na \(\displaystyle{ \sin 2x}\), \(\displaystyle{ \cos 2x}\).Odpowiedź \(\displaystyle{ \framebox{\cos x(4 \cos ^2 x -3)}}\).
Skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ \cos(x+y)=\cos x \cos y- \sin x \sin y}\) oraz ze wzorów na \(\displaystyle{ \sin 2x}\), \(\displaystyle{ \cos 2x}\).Odpowiedź \(\displaystyle{ \framebox{\cos x(4 \cos ^2 x -3)}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 415
- Rejestracja: 12 lis 2011, o 15:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 400
- Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdynia
- Pomógł: 64 razy
Wyrazić funkcję
Podobnie, najpierw możesz skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha}\). Później policz \(\displaystyle{ \sin 3x}\) korzystając m.in. ze wzoru \(\displaystyle{ \sin(x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 3x}\) - tutaj skorzystasz z obliczeń zawartych w zadaniu 2.
-
- Użytkownik
- Posty: 415
- Rejestracja: 12 lis 2011, o 15:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
Wyrazić funkcję
A jak się ma to liczb zespolonych skoro widzę, że operujemy tutaj tylko na funkcjach trygonometrycznych ?
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Wyrazić funkcję
1.
Ze wzoru de Moivre'a mamy
\(\displaystyle{ (\cos x + i\sin x )^{6}=\cos{6x}+i \sin {6x}}\)
Z drugiej strony mamy
\(\displaystyle{ (\cos x + i\sin x )^{6}= \sum_{k=0}^{6}{6\choose k}i^{6-k}\sin^{6-k}x\cos^{k}x}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \cos{6x}+i \sin {6x}=\sum_{k=0}^{6}{6\choose k}i^{6-k}\sin^{6-k}x\cos^{k}x}\)
więc
\(\displaystyle{ \text{Im} \left( \cos{6x}+i \sin {6x} \right) =\text{Im} \left( \sum_{k=0}^{6}{6\choose k}i^{6-k}\sin^{6-k}x\cos^{k}x \right)}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sin{6x}=\text{Im} \left( \sum_{k=0}^{6}{6\choose k}i^{6-k}\sin^{6-k}x\cos^{k}x \right)}\)
Ze wzoru de Moivre'a mamy
\(\displaystyle{ (\cos x + i\sin x )^{6}=\cos{6x}+i \sin {6x}}\)
Z drugiej strony mamy
\(\displaystyle{ (\cos x + i\sin x )^{6}= \sum_{k=0}^{6}{6\choose k}i^{6-k}\sin^{6-k}x\cos^{k}x}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \cos{6x}+i \sin {6x}=\sum_{k=0}^{6}{6\choose k}i^{6-k}\sin^{6-k}x\cos^{k}x}\)
więc
\(\displaystyle{ \text{Im} \left( \cos{6x}+i \sin {6x} \right) =\text{Im} \left( \sum_{k=0}^{6}{6\choose k}i^{6-k}\sin^{6-k}x\cos^{k}x \right)}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sin{6x}=\text{Im} \left( \sum_{k=0}^{6}{6\choose k}i^{6-k}\sin^{6-k}x\cos^{k}x \right)}\)