Wyznaczyć liczby zespolone

[ugabuga333]

1.)
\(\displaystyle{ z^{2} + 4i = 0}\)
2.)
\(\displaystyle{ Rez - 3Imz = 2}\)
3.)
\(\displaystyle{ Re(iz) \ge 1}\)
4.)
\(\displaystyle{ \frac{z+2}{i-1} = \frac{3+i}{z+i}}\)

Byłbym bardzo wdzięczny za rozwiązania jakoś tak krok po kroku, bo muszę zrozumieć jak się robi takie zadania, a nigdzie nie znalazłem dobrych materiałów na ten temat. Z góry dziękuję.

[Natasha]

Podstawiasz \(\displaystyle{ z=a+bi}\) i potem już normalnie rozwiązujesz
\(\displaystyle{ a=Rez}\)
\(\displaystyle{ b=Imz}\)

1.\(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ (a+bi)^2+4i=0}\)
\(\displaystyle{ a^2+2abi-b^2+4i=0}\)
\(\displaystyle{ (a^2-b^2)+(2ab+4)i=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}a^2-b^2=0 \Leftrightarrow a=b \vee a=-b \\2ab+4=0 \Leftrightarrow ab=-2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b^2=-2 (odpada) \Rightarrow -b^2=-2\\ a=-b \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b= \sqrt{2}\\ a= - \sqrt{2} \end{cases} \vee \begin{cases}b= -\sqrt{2}\\ a= \sqrt{2} \end{cases}}\)
Więc
\(\displaystyle{ z=- \sqrt{2}+ \sqrt{2}i \vee z= \sqrt{2}- \sqrt{2}i}\)

2. \(\displaystyle{ a=Rez}\)
\(\displaystyle{ b=Imz}\)
\(\displaystyle{ a-3b=0 \Rightarrow a=3b}\)
Rozwiązań jest nieskończenie wiele, np. \(\displaystyle{ z=3+i}\), \(\displaystyle{ z=-6-2i}\) itd

-- 25 listopada 2011, 09:17 --

\(\displaystyle{ Re(iz) \ge 1}\)
\(\displaystyle{ Re(i(a+bi))\ge 1}\)
\(\displaystyle{ Re(ai-b)\ge 1}\)
\(\displaystyle{ Re(-b+ai)\ge 1}\)
\(\displaystyle{ -b\ge 1 \Leftrightarrow b \le -1}\)

Rozwiązaniem są wszystkie liczby zespolone takie, które mają współczynnik przy b mniejszy bądź równy -1.
Ostatnie podobnie jak pierwsze.

[ugabuga333]

1.)
Okej dziękuję.
2.)
A tam nie powinno być przypadkiem \(\displaystyle{ a - 3b = 0}\) ?
Chociaż to i tak chyba nie zmienia wyniku prawda ?
3.)
A nie powinno być przypadkiem : Rozwiązaniem są wszystkie liczby zespolone takie, które
mają współczynnik przy b mniejszy bądź równy -1 ?
4.)
Wyszło mi, że \(\displaystyle{ b = \frac{2}{5}}\) oraz, że \(\displaystyle{ a^{2} = - \frac{221}{225}}\)
To co mam napisać w odpowiedzi ?