Wzór de Moivre'a dla n całkowitych ujemnych - dowód

[lady_fraktal]

Mam do udowodnienia poprawność wzoru Moivre'a

\(\displaystyle{ z ^{n}=r ^{n} \left( \cos \left( n \phi \right) + i\sin \left( n \phi \right) \right)}\)

dla \(\displaystyle{ n}\) całkowitego ujemnego.

Nie jestem pewna poprawności swojego rozwiązania, bardzo proszę o sprawdzenie.

Zakładam, że \(\displaystyle{ n \in N ^{+}}\), i chcę udowodnić słuszność wzoru \(\displaystyle{ z ^{-n}=r ^{-n} \left( \cos \left( -n \phi \right) + i\sin \left( -n \phi \right) \right)}\).

\(\displaystyle{ \frac{1}{z ^{n} }= \frac{1}{r ^{n} } \left( \cos \left( -n \phi \right) +i\sin \left( -n \phi \right)}\)

Podstawiam za \(\displaystyle{ z ^{n}}\) ze wzoru Moivre'a:

\(\displaystyle{ \frac{1}{r ^{n} \left( \cos \left( n \phi \right) + i\sin \left( n \phi \right) \right) } =\frac{1}{r ^{n} } \left( \cos \left( -n \phi \right) +i\sin \left( -n \phi \right) \right) \\\\
\frac{1}{ \left( \cos \left( n \phi \right) + i\sin \left( n \phi \right) \right) } = \cos \left( -n \phi \right) +i\sin \left( -n \phi \right) \\\\
1= \left( \cos \left( n \phi \right) + i\sin \left( n \phi \right) \right) \left( \cos \left( -n \phi \right) +i\sin \left( -n \phi \right) \right) \\\\
\left( \cos \left( - \alpha \right) = \cos \left( \alpha \right) \text{ oraz } \sin \left( - \alpha \right) =-\sin \left( \alpha \right) \text{ , stąd: } \right) \\\\
1= \left( \cos \left( n \phi \right) + i\sin \left( n \phi \right) \right) \left( \cos \left( n \phi \right) - i\sin \left( n \phi \right) \right) \\\\
1=\cos ^{2} \left( n \phi \right) + \sin ^{2} \left( n \phi \right) \\\\
1=1}\)
Czy jest to poprawny dowód?

Zastanawiam się jeszcze, co w przypadku \(\displaystyle{ n=0}\) (jak udowodnić poprawność wzoru?).

Jeszcze jedno pytanie, czy wzór Moivre'a można stosować dla \(\displaystyle{ z=0}\)? Wówczas \(\displaystyle{ \left| z\right| =0}\), a obliczając \(\displaystyle{ sin \left( \phi \right)}\) i \(\displaystyle{ cos \left( \phi \right)}\) dzielimy właśnie przez moduł z \(\displaystyle{ z}\)...

[Kartezjusz]

argumentu wtedy nie określamy...

[lady_fraktal]

Czy udowadniając ten wzór muszę gdzieś uwzględnić to, że dla \(\displaystyle{ z=0}\) argumentu nie określamy, a co za tym idzie, liczba w postaci trygonometrycznej to \(\displaystyle{ z=r=0}\)?

Wydaje mi się, że nie mogę zostawić swojego dowodu w tej formie dla dowolnego \(\displaystyle{ z}\), wynikałoby z niego, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{0 ^{n} } = \frac{1}{0 ^{n} } \left( \cos \left( 0 \cdot \phi \right) +i \sin \left( 0 \cdot \phi \right) \right)}\)

a jak wiadomo, przez zero dzielić nie wolno.

[Kartezjusz]

rozważyć osobno.