Witam, mam problem z zadaniem 8.21 ze zbioru "Analiza Matematyczna w Zadaniach" autorstwa W. Krysickiego i L. Włodarskiego. Zadanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ \frac{\left( 1+i\right) ^{n}}{\left( 1-i\right) ^{n-2}}}\), gdzie n jest liczbą naturalną.
Niestety mimo najszczerszych chęci nie wychodzi mi nic sensownego. Czy ktoś ma może pomysł jak to zadanie rozwiązać?
Dzielenie potęg liczb zespolonych
-
Marcinek665
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
-
ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Dzielenie potęg liczb zespolonych
Nie ma takiej potrzeby.
Wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ \frac{\left( 1+i\right) ^{n}}{\left( 1-i\right) ^{n-2}}=\left(\frac{ 1+i}{ 1-i} \right) ^{n} \cdot \left( 1-i \right) ^{2}=-2i \cdot \left( \frac{ \left( 1+i \right) ^2}{1+1} \right) ^{n}=-2i \cdot i^n=-2i^{n+1}=\\= \frac{2}{i^2} \cdot i^{n+1}=2i^{n-1}}\)
Wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ \frac{\left( 1+i\right) ^{n}}{\left( 1-i\right) ^{n-2}}=\left(\frac{ 1+i}{ 1-i} \right) ^{n} \cdot \left( 1-i \right) ^{2}=-2i \cdot \left( \frac{ \left( 1+i \right) ^2}{1+1} \right) ^{n}=-2i \cdot i^n=-2i^{n+1}=\\= \frac{2}{i^2} \cdot i^{n+1}=2i^{n-1}}\)