rozwiązać równanie

[messi15]

\(\displaystyle{ z^2-12 \overline z+61=0}\)

Proszę o podpowiedź jak się za to zabrać. Z góry dzięki

[cosinus90]

Podstaw \(\displaystyle{ z = a+bi}\).

[chris_f]

Podstaw \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy dostaniesz równanie
\(\displaystyle{ (x+iy)^2-12(x-iy)+61=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+2ixy-y^2-12x+12iy+61=0}\)
\(\displaystyle{ x^2-y^2-12x+61+i(2xy+12y)=0}\)
i teraz otrzymujemy układ równań
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
x^2-y^2-12x+61=0\\
2xy+12y=0\end{array}\right.}\)
Z drugiego łatwo dostajemy \(\displaystyle{ y=0\vee x=-6}\)
Jak \(\displaystyle{ y=0}\) to z pierwszego dostaniesz równanie kwadratowe dla \(\displaystyle{ x}\), podobnie gdy \(\displaystyle{ x=-6}\).

[messi15]

z równania kwadratowego dla \(\displaystyle{ y=0}\) wyszło że \(\displaystyle{ x=6-5i \vee x=6+5i}\) a dla \(\displaystyle{ x= -6}\), \(\displaystyle{ y=13 \vee y=-13}\). Które odpowiedzi będą prawidłowe?

[chris_f]

Będziesz miał cztery rozwiązania, dwa z \(\displaystyle{ y=0}\) i dwa dla \(\displaystyle{ x=-6}\).