rozwiązać równanie

[estre]

\(\displaystyle{ x^{3}+i=0}\)
Robię potem:
\(\displaystyle{ x^{3}-i^{3}=0}\)
wykonuje pierwsze działanie według wzoru różnicy sześcianu i co dalej...?

[JakimPL]

\(\displaystyle{ x^3=i^3, \ x\in\mathbb{C} \Rightarrow x=\sqrt[3]{-i}}\)

Wiemy, że istnieją trzy takie pierwiastki. Znajdujemy je (ze wzoru de Moivre'a na przykład).

[estre]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}=| \sqrt[3]{i}|(cos3fi+isin3fi)}\), tak?

[JakimPL]

Blisko, ale odwrotnie (w poprzednim poście nie przepisałem minusa, przepraszam). Moduł \(\displaystyle{ |-i|=1}\), \(\displaystyle{ \phi=\frac{3\pi}{2}}\), stąd:

\(\displaystyle{ x_0=\sqrt[3]{|-i|}\left(\cos \frac{\phi}{3}+ i \sin \frac{\phi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i}\)

Podobnie liczymy kolejne pierwiastki

\(\displaystyle{ x_1=\sqrt[3]{|-i|}\left(\cos \frac{\phi+2\pi}{3}+ i \sin \frac{\phi+2\pi}{3}\right)=\ldots \\ x_2=\sqrt[3]{|-i|}\left(\cos \frac{\phi+4\pi}{3}+ i \sin \frac{\phi+4\pi}{3}\right)=\ldots}\)

Liczby \(\displaystyle{ x_0}\), \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) należą do zbioru rozwiązań.