1. Niech \(\displaystyle{ w= \sqrt{3} + i}\). Podaj związek między argumentami liczb \(\displaystyle{ z = z/w}\) i \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ zw}\). Z jakiego twierdzenia wynika ta odpowiedź?
2. Oblicz resztę z dzielenia \(\displaystyle{ z^4+2^4}\) przez \(\displaystyle{ z+2i}\) nie wykonując dzielenia. Wystarczy tutaj podstawić \(\displaystyle{ z=-2i}\) ?
3. Znajdź liczby z spełniające równanie: \(\displaystyle{ 2(1+ \sqrt{3}i)z^3=( \sqrt{3} + i)^2}\). Wynik w postaci algebraicznej. Trzeba \(\displaystyle{ 2(1+ \sqrt{3}i)}\) przenieść na prawą strone i poźniej z tego co wyjdzie obliczyc pierwiastki \(\displaystyle{ 3ciego}\) stopnia ?
4. udowodnij, że wielomian stopnia 3 musi miec conajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Tutaj niemam pojecia.
5. Rozłóż wielomian \(\displaystyle{ x^4+1}\) na iloczyn dwóch rzeczywistych wielomianów stopnia 2. Czyli wyliczamy pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-1}}\) Dlaczego musi on mieć dwie pary sprzężonych pierwiastków zespolonych ?
Sprawdzenie i podpowiedzi do liczb zespolonych i rzecz.
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Sprawdzenie i podpowiedzi do liczb zespolonych i rzecz.
\(\displaystyle{ 1.\arg(w)=\frac{\pi}{3}\\
\arg\left(\frac{z}{w} \right) =\arg(z)-\arg(w)\\
\arg\left(zw\right) =\arg(z)+\arg(w)\\}\)
\(\displaystyle{ 2.}\) Tak
\(\displaystyle{ 3.}\) Tak, tylko nie przenieść, a podzielić, ale pewnie to miałeś na myśli
\(\displaystyle{ 4.}\) Pewnie chodzi o wielomian o współczynnikach rzeczywistych, ma on zawsze pierwiastki zespolone sprzężone, więc wielomian stopnia nieparzystego ma zawsze pierwiastek rzeczywisty, bo nie ma do niego sprzężonego do pary, więc nie może być zespolony
\(\displaystyle{ 5.\\
\sqrt{i}=e^{i\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\\
\sqrt{-i}=e^{-i\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\\
x^4+1=x^4-i^2=(x^2-i)(x^2+i)=(x-e^{i\frac{\pi}{4}})(x+e^{i\frac{\pi}{4}})(x-e^{-i\frac{\pi}{4}})(x+e^{-i\frac{\pi}{4}})=\\=\left[ (x+e^{i\frac{\pi}{4}})(x+e^{-i\frac{\pi}{4}})\right] \left[ (x-e^{i\frac{\pi}{4}})(x-e^{-i\frac{\pi}{4}})\right]=\left[ (x^2+x(e^{i\frac{\pi}{4}}+e^{-i\frac{\pi}{4}})+e^{i\frac{\pi}{4}}\cdot e^{-i\frac{\pi}{4}}\right] +\\+\left[ (x^2-x(e^{i\frac{\pi}{4}}+e^{-i\frac{\pi}{4}})+e^{i\frac{\pi}{4}}\cdot e^{-i\frac{\pi}{4}}\right]=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1) \\}\)
\arg\left(\frac{z}{w} \right) =\arg(z)-\arg(w)\\
\arg\left(zw\right) =\arg(z)+\arg(w)\\}\)
\(\displaystyle{ 2.}\) Tak
\(\displaystyle{ 3.}\) Tak, tylko nie przenieść, a podzielić, ale pewnie to miałeś na myśli
\(\displaystyle{ 4.}\) Pewnie chodzi o wielomian o współczynnikach rzeczywistych, ma on zawsze pierwiastki zespolone sprzężone, więc wielomian stopnia nieparzystego ma zawsze pierwiastek rzeczywisty, bo nie ma do niego sprzężonego do pary, więc nie może być zespolony
\(\displaystyle{ 5.\\
\sqrt{i}=e^{i\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\\
\sqrt{-i}=e^{-i\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\\
x^4+1=x^4-i^2=(x^2-i)(x^2+i)=(x-e^{i\frac{\pi}{4}})(x+e^{i\frac{\pi}{4}})(x-e^{-i\frac{\pi}{4}})(x+e^{-i\frac{\pi}{4}})=\\=\left[ (x+e^{i\frac{\pi}{4}})(x+e^{-i\frac{\pi}{4}})\right] \left[ (x-e^{i\frac{\pi}{4}})(x-e^{-i\frac{\pi}{4}})\right]=\left[ (x^2+x(e^{i\frac{\pi}{4}}+e^{-i\frac{\pi}{4}})+e^{i\frac{\pi}{4}}\cdot e^{-i\frac{\pi}{4}}\right] +\\+\left[ (x^2-x(e^{i\frac{\pi}{4}}+e^{-i\frac{\pi}{4}})+e^{i\frac{\pi}{4}}\cdot e^{-i\frac{\pi}{4}}\right]=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1) \\}\)