Liczba zespolona do potęgi

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Kerkyros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 23 wrz 2010, o 21:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy

Liczba zespolona do potęgi

Post autor: Kerkyros »

Witam, mam problem z następującym przykładem:
\(\displaystyle{ \left( \sin \frac{\pi }{12} -i\cos \frac{\pi }{12} \right) ^{18}}\)
Moje kroki są następujące:
\(\displaystyle{ |z|=1}\) więc
\(\displaystyle{ \left[ 1 \left( \cos \frac{5\pi }{12} -i\sin \frac{5\pi }{12} \right) \right] ^{18}=\\ =1^{18} \left( \cos \frac{5\pi }{12} +i\sin \frac{-5\pi }{12} \right) ^{18}=\\= \left( \cos \frac{\pi }{2} +i\sin \frac{-\pi }{2} \right)}\)

Czyli \(\displaystyle{ 0+(-1)=-1}\) a w odp jest \(\displaystyle{ 1}\) :/
Co robię źle?
Ostatnio zmieniony 19 lis 2011, o 23:05 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Liczba zespolona do potęgi

Post autor: BettyBoo »

Kerkyros pisze:\(\displaystyle{ 1^{18} \left( \cos \frac{5\pi }{12} +i\sin \frac{-5\pi }{12} \right) ^{18}= \left( \cos \frac{\pi }{2} +i\sin \frac{-\pi }{2}\right)}\)
Jak dokonałeś tego przejścia?

Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Liczba zespolona do potęgi

Post autor: ares41 »

\(\displaystyle{ \sin \frac{-5 \cdot 18\pi }{12} \neq \sin \frac{-\pi}{2}}\)
Kerkyros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 23 wrz 2010, o 21:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy

Liczba zespolona do potęgi

Post autor: Kerkyros »

ares41 pisze:\(\displaystyle{ \sin \frac{-5 \cdot 18\pi }{12} \neq \sin \frac{-\pi}{2}}\)
Uznałem, że jest to \(\displaystyle{ \frac{-90}{12} =-7,5}\) więc pozbywając się całości tak jak to zrobiłem przy \(\displaystyle{ \cos}\) dostaję \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{2}}\)
Nie wie mwobec tego jak zamienić tą część wyrażenia...
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Liczba zespolona do potęgi

Post autor: ares41 »

\(\displaystyle{ -7,5 \pi= \frac{\pi}{2} - 2 \cdot 4\pi}\)
Więc nie zostaje \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{2}}\) tylko \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Liczba zespolona do potęgi

Post autor: BettyBoo »

Przede wszystkim, to przejście, które zrobiłeś, jest średnio legalne...rozumiem, że w jakiś krzywy sposób skorzystałeś ze wzoru Eulera tudzież wzoru na potęgę? Bo jeśli tak, to trzeba to po ludzku zapisać...

Pozdrawiam.
Kerkyros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 23 wrz 2010, o 21:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy

Liczba zespolona do potęgi

Post autor: Kerkyros »

Mam jeszcze jedno pytanie, w sumie również pasuje do tytułu tematu
Czemu liczba \(\displaystyle{ i^{63}}\) jest równa \(\displaystyle{ -i}\)?
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Liczba zespolona do potęgi

Post autor: ares41 »

\(\displaystyle{ i^{63}=i^{4 \cdot 15+3}=(i^{4})^{15} \cdot i^3=\ldots}\)
Kerkyros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 23 wrz 2010, o 21:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy

Liczba zespolona do potęgi

Post autor: Kerkyros »

ares41 pisze:\(\displaystyle{ i^{63}=i^{4 \cdot 15+3}=(i^{4})^{15} \cdot i^3=\ldots}\)
Więc tak \(\displaystyle{ i}\) do parzystej potęgi równa się \(\displaystyle{ 1}\).
Tylko czemu \(\displaystyle{ i^{3}}\) wynosi \(\displaystyle{ -i}\) ?
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Liczba zespolona do potęgi

Post autor: ares41 »

\(\displaystyle{ i^3=i^2 \cdot i=(-1) \cdot i=-i}\)
Kerkyros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 23 wrz 2010, o 21:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy

Liczba zespolona do potęgi

Post autor: Kerkyros »

No tak, czyli moje zdanie "i do parzystej potęgi równa się 1" jest błędne...
Pytanie więc z drugiej strony czemu rozłożyłeś \(\displaystyle{ i^{60}}\) jako \(\displaystyle{ (i^{4})^{15}}\)?
W czym to ma pomóc?
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Liczba zespolona do potęgi

Post autor: ares41 »

Dlatego, że \(\displaystyle{ i^4=1}\)
ODPOWIEDZ