Pierwiastki i rozkład wielomianu

Bison · Post autor: **Bison** » 19 lis 2011, o 21:09

Oblicz pierwiastki
a) \(\displaystyle{ (-i) ^{1/2}}\)
b) \(\displaystyle{ (i) ^{1/3}}\)

Rozłóż na iloczyn wielomianów 1 lub 2 stopnia
\(\displaystyle{ x^{6}+27=0}\)

Mógłby ktoś wytłumaczyć mi krok po kroku jak to zrobić? Szukałem na forum, ale nic z tego nie rozumiem. Proszę o choćby plan działania (taki bardziej szczegółowy). Z góry dziękuję.

ares41 · Post autor: **ares41** » 19 lis 2011, o 21:17

1. Zamień te liczby na postać trygonometryczną.
2. Wskazówka : \(\displaystyle{ x^6+27=(x^2)^3+3^3}\)

Bison · Post autor: **Bison** » 19 lis 2011, o 21:36

1a)
\(\displaystyle{ z=r \left( \cos \alpha +i \sin \alpha \right) \\
i= \left( \cos 90+i \sin 90 \right) \\
z ^{3} =i \\
r ^{3} \left( \cos 3\alpha +i \sin 3\alpha \right) = \left( \cos 90+i \sin 90 \right)}\)
i dalej nie wiem co robic zeby obliczyc te pierwiastki

1b)
\(\displaystyle{ z ^{2} =-i \\
z=r \left( \cos \alpha +i \sin \alpha \right) \\
z ^{2}= r ^{2} \left( \cos 2\alpha +i \sin 2\alpha \right)}\)
tutaj nawet nie wiem jak zapisać trygonometrycznie \(\displaystyle{ -i}\), a potem to samo co wyżej.

2)to zauważyłem. ale chodzi mi raczej jak rozłożyć taki wielomian na iloczyn innych. Mam liczyć wszystkie 6 pierwiastków a potem \(\displaystyle{ (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_6)}\)? Prosze o wytłumaczenie w krokach jak to sie robi.

ares41 · Post autor: **ares41** » 19 lis 2011, o 22:01

Zacznijmy od drugiego.
Pokaż do czego doszedłeś korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

Bison · Post autor: **Bison** » 19 lis 2011, o 22:10

\(\displaystyle{ (x ^{2})^{3}+3 ^{3} =(x ^{2} +3)(x ^{4} -3x ^{2} +9)}\)
i kompletnie nie wiem jak sie za to zabrac. mam na przykład \(\displaystyle{ (x ^{2} +3)}\). Jak zabrąc sie za jego rozkład? Jak przejść z tego na postać trygonometryczną i co robić dalej? Albo czy jest jakiś inny sposób, który mógłym wykorzystać nie tylko do tego ale i np do drugiego wielomianu w tym zadaniu?

ares41 · Post autor: **ares41** » 19 lis 2011, o 22:16

\(\displaystyle{ x ^{2} +3=0 \Leftrightarrow x^2=-3 \Leftrightarrow x\in \left\{ i\sqrt{3} ; - i \sqrt{3} \right\}}\)

\(\displaystyle{ x ^{4} -3x ^{2} +9=(x^2+3)^2-9x^2=(x^2+3)^2-(3x)^2=\ldots}\)

Bison · Post autor: **Bison** » 19 lis 2011, o 22:24

\(\displaystyle{ (x ^{2}-3x+3)(x ^{2}+3x+3)}\)
tak?

ares41 · Post autor: **ares41** » 19 lis 2011, o 22:30

Tak. Teraz dla każdego z wyrażeń w nawiasach wyznacz jego pierwiastki - postępujesz jak w przypadku każdego równania kwadratowego - delta i pierwiastki.

Bison · Post autor: **Bison** » 19 lis 2011, o 22:41

delta wyszła mi -3 a pierwiastki
\(\displaystyle{ x= \frac{3- \sqrt{3} i}{2}}\) i \(\displaystyle{ x= \frac{3+ \sqrt{3} i}{2}}\) z pierwszego i
\(\displaystyle{ x= \frac{-3- \sqrt{3} i}{2}}\) i \(\displaystyle{ x= \frac{-3+ \sqrt{3} i}{2}}\) z drugiego. Dobrze? I co dalej?

ares41 · Post autor: **ares41** » 19 lis 2011, o 22:43

Masz więc łącznie sześć pierwiastków, możesz zatem zapisać ten wielomian jako \(\displaystyle{ (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_6)}\)

Bison · Post autor: **Bison** » 19 lis 2011, o 22:47

Dzięki za pomoc przy tym. A mógłbym prosić jeszce o drobną pomoc przy innym wielomianie?
\(\displaystyle{ x ^{12}+ x^{8} +x ^{4} +1}\)
Rozłóżyć na iloczyn rzeczywistych wielomianów stopnia 1 lub 2

ares41 · Post autor: **ares41** » 19 lis 2011, o 23:02

\(\displaystyle{ x ^{12}+ x^{8} +x ^{4} +1=x^8(x^4+1)+x^4+1=(x^8+1)(x^4+1)}\)

Skorzystaj ze wzorów na pierwiastki z liczby zespolonej.

Bison · Post autor: **Bison** » 19 lis 2011, o 23:08

a jak one wyglądają? gdzie je znajdę? bo szukałem i nie znalazłem

ares41 · Post autor: **ares41** » 19 lis 2011, o 23:10

2524.htm

Bison · Post autor: **Bison** » 19 lis 2011, o 23:16

1) I musze policzyc 8 z pierwszego i 4 z drugiego czy wystarczy tylko te z pierwszego bo te 4 z drugiego juz beda w tym zawarte?
2) I jeszce jedno. Jak mam policzyć pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt{4i-3}}\) to po podstawieniu dostaję funkcję dwukwadratową i wychodzi mi \(\displaystyle{ b^{2}=4}\) i \(\displaystyle{ b ^{2} =-1}\). W ksiązce ten drugi przypadek jest pominięty. To znaczy, że w takich przypadkach pomija się to, gdy \(\displaystyle{ b ^{2}<0}\)?