potęgi liczb zespolonych

[hakunamatata]

Proszę o sprawdzenie:

\(\displaystyle{ z ^{6}=\left( 1+ \sqrt{3}i \right) ^{3} \\
\left( 1+ \sqrt{3}i \right) ^{3}= 2 ^{3}\left( \cos \frac{ \pi }{3} \cdot 3 + i\sin \frac{ \pi }{3} \cdot 3 \right) = 8\left( \cos \pi +i\sin \pi \right)= -8 \\\\
z ^{6}= -8 \Rightarrow z= \sqrt[6]{-8} \\ \left| z\right|= \sqrt{\left( \sqrt[6]{-8}\right) ^{2} } = \sqrt{2} \\ \\
w _{0}= \sqrt{2}\left( \cos \frac{ \pi }{6} + i\sin \frac{ \pi }{6} \right) \\
w _{1}= \sqrt{2}\left( \cos \frac{ \pi }{2} + i\sin \frac{ \pi }{2} \right) \\
w _{2}= \sqrt{2}\left( \cos \frac{5 \pi }{6} + i\sin \frac{5 \pi }{6} \right)\\
w _{3}= \sqrt{2}\left( \cos \frac{7 \pi }{6} + i\sin \frac{7 \pi }{6} \right) \\
w _{4}= \sqrt{2}\left( \cos \frac{3 \pi }{2} + i\sin \frac{3 \pi }{2} \right) \\
w _{5}= \sqrt{2}\left( \cos \frac{11 \pi }{6} + i\sin \frac{11 \pi }{6} \right)}\)

[kuma]

Zgadza się

[hakunamatata]

dziękuje

[octahedron]

Tylko że \(\displaystyle{ |z|=\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ \sqrt[6]{-8}}\) nie istnieje dla liczb rzeczywistych