liczby zespolone-równanie, część rzeczywista

[Evamarie]

Witam!
Poproszę o wskazówki jak zaatakować następujące zadanko - wyznaczyć \(\displaystyle{ \\Re\left(\overline{z}\right)}\) jeśli \(\displaystyle{ z= \ \left( \frac{z}{\overline{z}} \right) ^{2} \ + \ \left( \frac{\overline{z}}{z} \right) ^{2}}\) próbowałam od razu przedstawić w postaci algebraicznej, ułamki pomnożyć przez sprzężenia przez co mamy ten sam mianownik, ale w dalszym toku wyskakują 4 potęgi po przekształceniach i niezbyt zachęcające do dalszej pracy równanie.... może dałoby się je jakoś sprytnie ominąć?

[pyzol]

No niezbyt ale da sie cos dalej zrobic. Zauwasz (moge sie mylic) ze z prawej strony otrzymasz liczbe rzeczywista. A z lewej masz \(\displaystyle{ x+iy}\) wynika z tego ze \(\displaystyle{ y=0}\).

[chris_f]

Mi wyszło \(\displaystyle{ x=2\wedge y=0,\ {\rm zatem}\ Re(\bar{z})=2}\)

[pyzol]

... Zauwasz ....

no czcionki polskiej nie mam, ale od tego to sie nie wytlumacze...

[Evamarie]

Ok, dziękuję za podjęcie się trudów liczenia Po podjęciu walki z 4 stopniem (niechże zginie ;p) również mam wyniki jak powyżej, więc na razie poprzestanę na tym, bo w sumie dobry wynik to też dobra sprawa ;P

[pyzol]

Ale tu nie ma zadnych trudnosci. Jesli wywnioskujemy ze y=0, to wynik wychodzi nam od reki...
Takze tylko potrzebna znajomosc wzoru Newtona.

[chris_f]

Szybciej wychodzi, gdy się skorzysta z faktu, że \(\displaystyle{ a^2+\frac{1}{a^2}=\left(a+\frac1a\right)^2-2}\), gdy przyjmiemy, że \(\displaystyle{ a=\frac{z}{\bar{z}}}\), wtedy po prawej dostaniemy \(\displaystyle{ \left(\frac{z}{\bar{z}}+\frac{\bar{z}}{z}\right)^2-2=\left(\frac{z^2+\bar{z}^2}{z\bar{z}}\right)^2-2=\left(\frac{(x+iy)^2+(x-iy)^2}{|z|^2}\right)^2-2=\\
\left(\frac{2x^2+2y^2}{|z|^2}\right)^2-2}\)
no i teraz widać, że prawa strona jest czysto rzeczywista, czyli \(\displaystyle{ y=0}\), a gdy podstawimy do wyjściowego to dostaniemy \(\displaystyle{ x=2}\).

[pyzol]

Tak. Tak czy siak za duzych rachunkow nie ma.

[Evamarie]

Sympatyczne przedstawienie i użyteczne nie tylko w tym przykładzie. A i tu wychodzi ładniej niż w innych opcjach, przynajmniej moim zdaniem Więc dziękuję raz jeszcze;)