Kto jest w stanie to roziązać (w dziedzinie liczb zespolonych):
\(\displaystyle{ x^5 -2x^4 +2x^3 -x^2 +2x -2 = 0}\)
Rownanie...
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Rownanie...
Proszę zapoznać się z LaTeX-em.
Co do równania:
\(\displaystyle{ x^5 -2x^4 + 2x^3 - x^2 +2 x- 2=0 \\ x^5 - x^2 -( 2x^2 -2x^3) +(2x-2)=0\\ x^2 ( x^3 -1) -2x^3 ( x-1) + 2(x-1)=0 \\ x^2 ( x^3 -1) - (x-1)( 2-2x^3 ) =0 \\ x^2 ( x^3 -1) +2( x^3 -1)(x-1)=0 \\ (x^3 -1)[ x^2 + 2(x-1)]=0 \\ (x-1)(x^2 + x +1)(x^2 +2x-2)=0 \\ x=1 x^2 +x+1=0 x^2+2x-2=0}\)
Teraz rozwiązujemy te dwa równania:
\(\displaystyle{ x^2+x+1=0 \\ \Delta=1- 4= -3 ; \sqrt{ \Delta}= \sqrt{3} i}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{ -1- \sqrt{3} i }{2} x= \frac{-1+ \sqrt{3} i}{2}}\)
\(\displaystyle{ x^2 +2x-2=0 \\ \Delta=4+8=12; \sqrt{ \Delta}=2 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ -2 - 2 \sqrt{3}}{2}=-1-\sqrt{3} x=\frac{ -2+ 2 \sqrt{3}}{2}=-1+ \sqrt{3}}\)
Czyli ostatecznie otrzymujemy pięć rozwiązań.
Co do równania:
\(\displaystyle{ x^5 -2x^4 + 2x^3 - x^2 +2 x- 2=0 \\ x^5 - x^2 -( 2x^2 -2x^3) +(2x-2)=0\\ x^2 ( x^3 -1) -2x^3 ( x-1) + 2(x-1)=0 \\ x^2 ( x^3 -1) - (x-1)( 2-2x^3 ) =0 \\ x^2 ( x^3 -1) +2( x^3 -1)(x-1)=0 \\ (x^3 -1)[ x^2 + 2(x-1)]=0 \\ (x-1)(x^2 + x +1)(x^2 +2x-2)=0 \\ x=1 x^2 +x+1=0 x^2+2x-2=0}\)
Teraz rozwiązujemy te dwa równania:
\(\displaystyle{ x^2+x+1=0 \\ \Delta=1- 4= -3 ; \sqrt{ \Delta}= \sqrt{3} i}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{ -1- \sqrt{3} i }{2} x= \frac{-1+ \sqrt{3} i}{2}}\)
\(\displaystyle{ x^2 +2x-2=0 \\ \Delta=4+8=12; \sqrt{ \Delta}=2 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ -2 - 2 \sqrt{3}}{2}=-1-\sqrt{3} x=\frac{ -2+ 2 \sqrt{3}}{2}=-1+ \sqrt{3}}\)
Czyli ostatecznie otrzymujemy pięć rozwiązań.
-
mszakal
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 27 sty 2007, o 13:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Rownanie...
Dzieki wielkie postaram sie zapozanc :d
[ Dodano: 27 Styczeń 2007, 17:35 ]
Podklejam jeszcze jedno :
\(\displaystyle{ (z^4 + 81) (z^2 - 3z +2)=0}\)
[ Dodano: 27 Styczeń 2007, 17:35 ]
Podklejam jeszcze jedno :
\(\displaystyle{ (z^4 + 81) (z^2 - 3z +2)=0}\)
-
Maniek
- Użytkownik
- Posty: 841
- Rejestracja: 11 paź 2004, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Będzin | Gliwice
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 79 razy
Rownanie...
yhm troszkę źle spojrzałem widziałem -.
a z tym + to się nawet zawiesiłem heh jak na coś wpadne to dam znać:)
a z tym + to się nawet zawiesiłem heh jak na coś wpadne to dam znać:)
Ostatnio zmieniony 28 sty 2007, o 13:34 przez Maniek, łącznie zmieniany 1 raz.
-
mszakal
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 27 sty 2007, o 13:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Rownanie...
Wielkie wielki dzieki!
[ Dodano: 28 Styczeń 2007, 11:27 ]
Ale cos mnie tutaj troche niepokoi:
\(\displaystyle{ (z-3)(z+3) = z^2-9 \\ (z^2-9)(z^2+9)= z^4 -81}\) a tam jest \(\displaystyle{ z^4 + 81}\)
????
[ Dodano: 28 Styczeń 2007, 21:56 ]
A można tak??Tylko niech ktoś odpowie
\(\displaystyle{ z^4+81=0}\)
\(\displaystyle{ z^4 = -81}\)
\(\displaystyle{ z = \sqrt[4]{-81}}\)
Tylko co dalej...hmmm
[ Dodano: 28 Styczeń 2007, 11:27 ]
Ale cos mnie tutaj troche niepokoi:
\(\displaystyle{ (z-3)(z+3) = z^2-9 \\ (z^2-9)(z^2+9)= z^4 -81}\) a tam jest \(\displaystyle{ z^4 + 81}\)
????
[ Dodano: 28 Styczeń 2007, 21:56 ]
A można tak??Tylko niech ktoś odpowie
\(\displaystyle{ z^4+81=0}\)
\(\displaystyle{ z^4 = -81}\)
\(\displaystyle{ z = \sqrt[4]{-81}}\)
Tylko co dalej...hmmm
-
PawelJan
- Użytkownik
- Posty: 971
- Rejestracja: 18 sie 2005, o 12:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oleszyce/Kraków
- Pomógł: 209 razy
Rownanie...
A nie przypadkiem -1 zamiast -i w ostatnim pierwiastku?
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-81}=\sqrt{\sqrt{-81}}=\sqrt{\pm 9i}}\)
Mam nadzieję że ten "niematematyczny" zapis jest zrozumiały. Mamy już 2 pierwiastki. Mają być cztery - wyciągamy pierwiastki z liczb zespolonych: 9i oraz -9i. Najprościej przedstawić je w postaci wykładniczej:
\(\displaystyle{ 9i=9 e ^{i\pi/2}}\)
Zgodnie ze wzorem de Moivre'a pierwiastki tej liczby to:
\(\displaystyle{ z_1=3e^{i\pi/4} \\ z_2=3e^{i5\pi/4}}\)
Analogicznie \(\displaystyle{ -9i=9e^{i3\pi/2}}\) i jej pierwiastki:
\(\displaystyle{ z_3=3e^{i3\pi/4} \\ z_4=3e^{i7\pi/4}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{-81}=\sqrt{\sqrt{-81}}=\sqrt{\pm 9i}}\)
Mam nadzieję że ten "niematematyczny" zapis jest zrozumiały. Mamy już 2 pierwiastki. Mają być cztery - wyciągamy pierwiastki z liczb zespolonych: 9i oraz -9i. Najprościej przedstawić je w postaci wykładniczej:
\(\displaystyle{ 9i=9 e ^{i\pi/2}}\)
Zgodnie ze wzorem de Moivre'a pierwiastki tej liczby to:
\(\displaystyle{ z_1=3e^{i\pi/4} \\ z_2=3e^{i5\pi/4}}\)
Analogicznie \(\displaystyle{ -9i=9e^{i3\pi/2}}\) i jej pierwiastki:
\(\displaystyle{ z_3=3e^{i3\pi/4} \\ z_4=3e^{i7\pi/4}}\)