Rozwiązać podane równania zespolone

[wojtek2909]

a) \(\displaystyle{ z ^{2}+6z+10=0}\)
b) \(\displaystyle{ z ^{2}-3z+3+i=0}\)
Mógłby mi ktoś pomóc z następującymi równaniami zespolonymi?
Przykład a) rozwiazalem ale nie jestem pewny, bardziej interesuje mnie b).

[BettyBoo]

A jak rozwiązywałeś? Pokaż obliczenia to Ci powiem, czy dobrze.

b) rozwiązuje się analogicznie jak a).

Pozdrawiam.

[wojtek2909]

Rozwiazywalem nastepująco:
\(\displaystyle{ z ^{2}+6z+10=0
\delta = 6 ^{2}-40
\delta = 36-40
\delta = -4=(2i) ^{2}
\delta = 2i

z1= \frac{-6-2i}{2}
z1=-3-i

z2= \frac{-6+2i}{2}
z2=-3+i}\)

[BettyBoo]

Przede wszystkim, popraw poprzednią wiadomość - aby to szybko zrobić, zaznacz wzór i kliknij w przycisk oznaczony tex, który znajduje się u góry okienka. To spowoduje, że wzory nabiorą odpowiednich kształtów

Rozwiązujesz dobrze - tylko źle zapisujesz. Masz \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\pm 2i}\).

Teraz to samo dla b).

Pozdrawiam.

[wojtek2909]

Przepraszam za moja pisownie ale to moj pierwszy raz na matematyka.pl mysle ze z kazdym postem bedzie lepiej. w b) wlasnie sie gubie... dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ \delta= 3^{2} -4(3+i)
\delta= 9-12+4i}\)
i dalej nie jestem pewny...

[BettyBoo]

No, prawie dobrze - będziesz miał raczej po uproszczeniu wzoru \(\displaystyle{ -3-4i}\).

Teraz musisz obliczyć \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\). Jeśli nie znasz na to gotowego wzoru, to można obliczyć z definicji - wiadomo, że pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej jest liczbą zespoloną, a każdą liczbę zespoloną można zapisać postaci algebraicznej. A to znaczy, że istnieją takie \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}}\), że \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=a+bi\ \Longrightarrow\ -3-4i=a^2-b^2+2abi}\). Wystarczy rozwiązać.

Pozdrawiam.
PS symbol wyróżnika do duża litera delta, która robi się za pomocą

Kod: Zaznacz cały

Delta

.

[wojtek2909]

Wyszlo mi:
\(\displaystyle{ z1= \frac{3}{2} -i

z2= \frac{3}{2} +i}\)
Czy to jest dobry wynik? Bo jakos tak za prosto mi to chyba poszlo
ps nie wiem dlaczego nie moge w z2 zrobic 3/2 tak jak w z1 ale to o to chodzi...

[BettyBoo]

Żeby sprawdzić, czy masz poprawny wynik, wystarczy wstawić \(\displaystyle{ z1,z2}\) do równania i sprawdzić, czy będzie równość. I niestety, dla tych liczb nie będzie.

\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=\pm (1-2i)}\), więc po wstawieniu do wzoru na pierwiastki masz \(\displaystyle{ z_{1,2}=\frac{3\pm(1-2i)}{2}=\begin{cases}2-i\\ 1+i\end{cases}}\)

Pozdrawiam.
PS Nie wiem, dlaczego tak dziwnie pokazuje ten wzór, bo zapisany jest chyba poprawnie.

[wojtek2909]

Nadal nie rozumiem... zauwazylem u siebie blad bo zamiast 2abi podstawilem samo 2 dlatego z1 i z2 wyszlo zle. Ale nadal nie rozumiem. Czy moglbym dostac rozwiazanie calego b) i przeanalizowac je to moze dojde jak to jest rozwiazane...

[BettyBoo]

Aby rozwiązać równanie, najpierw musisz obliczyć pierwiastki z \(\displaystyle{ \Delta}\). Zaczynasz tak, jak pisałam wyżej:

\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=a+bi,\ a,b,\in\mathbb{R}}\)

Co jest równoważne z tym, że

\(\displaystyle{ -3-4i=a^2-b^2+2abi}\)

Z definicji równości liczb zespolonych otrzymujesz układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} -3=a^2-b^2\\-4=2ab\end{cases}}\)

To jest układ w liczbach rzeczywistych. Z drugiego równania wyznaczasz \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b}\) i wstawiasz do pierwszego. Łatwo rozwiązać. Rozwiązania otrzymujesz dwa: \(\displaystyle{ a=1, b=-2}\) oraz \(\displaystyle{ a=-1,b=2}\), co daje \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=\pm (1-2i)}\). Wstawiasz to do wzoru na pierwiastki i masz odpowiedź.

Pozdrawiam.