Liczby zespolone - pytania, przykłady

[zdzicho0]

Przygotowuję się z liczb zespolonych i większość rzeczy umiem rozwiązać. Wrzucam tutaj te które mi sprawiają trudność i proszę o jakieś wskazówki lub rozwiązania.

1. Interpretacja geometryczna: \(\displaystyle{ \left|z\right| \le 1 , 0 \le arg(iz) \le \pi}\)
2. Jaki jest związek między pierwiastkami \(\displaystyle{ n-tego}\) stopnia liczb zespolonych \(\displaystyle{ z}\) oraz \(\displaystyle{ iz}\) lub \(\displaystyle{ z}\) oraz \(\displaystyle{ -iz}\).
3. Podaj najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) taką, że liczba \(\displaystyle{ i-1}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ n-tego}\) stopnia z liczby \(\displaystyle{ 8i}\). Uzasadnij.

[octahedron]

\(\displaystyle{ \left|z\right|= \left|z-0\right|\le 1}\)
koło o środku \(\displaystyle{ 0}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\)

\(\displaystyle{ 0 \le arg(iz) \le \pi\\
0 \le \arg(z)+\arg(i) \le \pi\\
0 \le \arg(z)+\frac{\pi}{2} \le \pi\\
-\frac{\pi}{2} \le \arg(z) \le \frac{\pi}{2}\\}\)

czyli prawa półpłaszczyzna razem z osią urojoną, łącznie to daje połowę koła

[zdzicho0]

Ok, dzieki, rozumiem. A czy ktos mógłby coś poradzić w 2 kolejnych ?

[octahedron]

\(\displaystyle{ 2.\\
|iz|=|i|\cdot |z|=1\cdot|z|=|z| \Rightarrow |\sqrt[n]{iz}|=|\sqrt[n]{z}|\\
\arg(iz)=\arg(z)+\frac{\pi}{2}\\
\arg(\sqrt[n]{z})=\frac{\arg(z)}{n}+\frac{2k\pi}{n}\\
\arg(\sqrt[n]{iz})=\frac{\arg(iz)}{n}+\frac{2k\pi}{n}=\frac{\arg(z)+\frac{\pi}{2}}{n}+\frac{2k\pi}{n}=\arg(\sqrt[n]{z})+\frac{\pi}{2n}\\}\)



\(\displaystyle{ 3.\\
|(i-1)^n|=|i-1|^n=|8i|\\
\left( \sqrt{2}\right)^n=8\\
\left( \sqrt{2}\right)^n=\left( \sqrt{2}\right)^6\\
n=6\\
\arg(i-1)=\frac{3\pi}{4}\\
\arg((i-1)^6)=6\cdot\frac{3\pi}{4}=\frac{9\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi=\arg(8i)\\
(i-1)^6=8i}\)

[zdzicho0]

Ok dzięki jeszcze mam tylko pytanie czemu w drugim dodajesz \(\displaystyle{ \frac{2k\pi}{n}}\)

[octahedron]

Bo istnieje \(\displaystyle{ n}\) różnych pierwiastków \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia. Zauważ, że \(\displaystyle{ \left(\sqrt[n]{|z|}e^{i\frac{\varphi+2k\pi}{n}} \right)^n =|z|e^{i\varphi}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k\in Z}\). Kiedy \(\displaystyle{ k=0,1,2,..., n-1}\) dostajemy różne pierwiastki, potem się zaczynają powtarzać.