postać algebraiczna liczby zespolonej

[mcmcjj]

Zapisać w postaci algebraicznej liczbę \(\displaystyle{ \left( \frac{1-i \sqrt{3} }{2} \right) ^{15}}\).

- wyznaczyłem wzór na \(\displaystyle{ (x-y)^{15}}\)
- obliczyłem licznik, wyszło \(\displaystyle{ -32768}\)
- podzieliłem przez mianownik

Ostatecznie wyszło mi \(\displaystyle{ -1}\). Proszę o sprawdzenie czy wynik się zgadza (nie mam odpowiedzi). Czy postać algebraiczna w tym wypadku będzie: \(\displaystyle{ -1 + 0i}\) ?

[chris_f]

Gratuluję cierpliwości przy liczeniu \(\displaystyle{ (x-y)^{15}}\)
A może by tak wzory de Moivre'a?
\(\displaystyle{ z=\frac12-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
Obliczamy moduł i argument
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{\frac14+\frac34}=1}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac12,\ \sin\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \varphi=\frac{5\pi}{3}}\)
i ze wzoru mamy
\(\displaystyle{ z^{15}=1^{15}\left(\cos15\cdot\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)=
\cos\pi+i\sin\pi=-1}\)
Postać algebraiczna to rzeczywiście \(\displaystyle{ -1+0i}\)

[mcmcjj]

Gratuluję cierpliwości przy liczeniu \(\displaystyle{ (x-y)^{15}}\)

Z dwumianu Newtona nie było tak źle

A może by tak wzory de Moivre'a?
\(\displaystyle{ z=\frac12-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
Obliczamy moduł i argument
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{\frac14+\frac34}=1}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac12,\ \sin\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \varphi=\frac{5\pi}{3}}\)
i ze wzoru mamy
\(\displaystyle{ z^{15}=1^{15}\left(\cos15\cdot\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)=
\cos\pi+i\sin\pi=-1}\)
Postać algebraiczna to rzeczywiście \(\displaystyle{ -1+0i}\)

Ale tak jest szybciej Dzięki

[justyna230182]

ja czegoś tu nie rozumiem. skąd wzięło się to \(\displaystyle{ -1+0i}\) ?

[Jan Kraszewski]

Stąd, że chcemy liczbę \(\displaystyle{ -1}\), będącą wynikiem, przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\).

JK

[Janusz Tracz]

Można szybciej zauważmy że:

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^{15}=\left( \left( \frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^{3}\right)^{5}=(-1)^5=-1}\)