Zapisać w postaci algebraicznej liczbę \(\displaystyle{ \left( \frac{1-i \sqrt{3} }{2} \right) ^{15}}\).
- wyznaczyłem wzór na \(\displaystyle{ (x-y)^{15}}\)
- obliczyłem licznik, wyszło \(\displaystyle{ -32768}\)
- podzieliłem przez mianownik
Ostatecznie wyszło mi \(\displaystyle{ -1}\). Proszę o sprawdzenie czy wynik się zgadza (nie mam odpowiedzi). Czy postać algebraiczna w tym wypadku będzie: \(\displaystyle{ -1 + 0i}\) ?
postać algebraiczna liczby zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 13 kwie 2009, o 11:45
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1 raz
postać algebraiczna liczby zespolonej
Ostatnio zmieniony 16 lis 2011, o 17:04 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nawet proste wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] . Skalowanie nawiasów.
Powód: Nawet proste wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
postać algebraiczna liczby zespolonej
Gratuluję cierpliwości przy liczeniu \(\displaystyle{ (x-y)^{15}}\)
A może by tak wzory de Moivre'a?
\(\displaystyle{ z=\frac12-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
Obliczamy moduł i argument
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{\frac14+\frac34}=1}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac12,\ \sin\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \varphi=\frac{5\pi}{3}}\)
i ze wzoru mamy
\(\displaystyle{ z^{15}=1^{15}\left(\cos15\cdot\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)=
\cos\pi+i\sin\pi=-1}\)
Postać algebraiczna to rzeczywiście \(\displaystyle{ -1+0i}\)
A może by tak wzory de Moivre'a?
\(\displaystyle{ z=\frac12-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
Obliczamy moduł i argument
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{\frac14+\frac34}=1}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac12,\ \sin\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \varphi=\frac{5\pi}{3}}\)
i ze wzoru mamy
\(\displaystyle{ z^{15}=1^{15}\left(\cos15\cdot\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)=
\cos\pi+i\sin\pi=-1}\)
Postać algebraiczna to rzeczywiście \(\displaystyle{ -1+0i}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 13 kwie 2009, o 11:45
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1 raz
postać algebraiczna liczby zespolonej
Z dwumianu Newtona nie było tak źlechris_f pisze:Gratuluję cierpliwości przy liczeniu \(\displaystyle{ (x-y)^{15}}\)
Ale tak jest szybciej Dziękichris_f pisze:A może by tak wzory de Moivre'a?
\(\displaystyle{ z=\frac12-\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)
Obliczamy moduł i argument
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{\frac14+\frac34}=1}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac12,\ \sin\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \varphi=\frac{5\pi}{3}}\)
i ze wzoru mamy
\(\displaystyle{ z^{15}=1^{15}\left(\cos15\cdot\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)=
\cos\pi+i\sin\pi=-1}\)
Postać algebraiczna to rzeczywiście \(\displaystyle{ -1+0i}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 25 lis 2017, o 21:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polsa
postać algebraiczna liczby zespolonej
ja czegoś tu nie rozumiem. skąd wzięło się to \(\displaystyle{ -1+0i}\) ?
Ostatnio zmieniony 25 lis 2017, o 21:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: postać algebraiczna liczby zespolonej
Stąd, że chcemy liczbę \(\displaystyle{ -1}\), będącą wynikiem, przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\).
JK
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: postać algebraiczna liczby zespolonej
Można szybciej zauważmy że:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^{15}=\left( \left( \frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^{3}\right)^{5}=(-1)^5=-1}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^{15}=\left( \left( \frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^{3}\right)^{5}=(-1)^5=-1}\)