Pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej.

[times]

Cześć.

Muszę podać najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\), taka że liczba \(\displaystyle{ -i-1}\) będzie pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby \(\displaystyle{ -8i}\).
Nie wiem jak się do tego zabrać. Proszę o wszelką pomoc i w miarę łopatologiczne wytłumaczenie:)

[scyth]

Przedstaw obie liczby w formie trygonometrycznej - może uda się zauważyć coś ciekawego (skojarz ze wzorem de Moivre'a).

[times]

No dobrze, więc:
\(\displaystyle{ -1-i= \sqrt{2}(\cos( \frac{3\pi}{4}) +i \sin( \frac{5\pi}{4}))}\)
\(\displaystyle{ -8i= 8(\cos( \frac{\pi}{2}) +i \cos( \frac{\pi}{2}))}\)

W zadaniu mam znaleźć: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{-8i}=-i-1}\), tak?

Przekształcając dalej:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{8(\cos( \frac{\pi}{2}) +i \cos( \frac{\pi}{2}))} = \sqrt{2}(\cos( \frac{3\pi}{4}) +i \sin( \frac{5\pi}{4}))}\)

\(\displaystyle{ 8(\cos( \frac{\pi}{2}) +i \cos( \frac{\pi}{2}))= (\sqrt{2}(\cos( \frac{3\pi}{4}) +i \sin( \frac{5\pi}{4})))^{n}}\)

\(\displaystyle{ 8(\cos( \frac{\pi}{2}) +i \cos( \frac{\pi}{2}))= \sqrt[n]{2}(\cos( \frac{3\pi}{4}) +i \sin( \frac{5\pi}{4}))}\)


Dalej nie mam pomysłu co zrobić. Coraz mniej rozumiem..

Przy kombinowaniu ze wzorami de'Moivre wyszło mi:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{-8} = 8^{ \frac{1}{n}}(\cos \frac{1}{n} \frac{\pi}{2}) +i \cos(\frac{1}{n} \frac{\pi}{2}))}\)

Czyli chąc obliczyć n postawiam(?):
\(\displaystyle{ 8^{ \frac{1}{n}}(\cos (\frac{1}{n} \frac{\pi}{2}) +i \cos (\frac{1}{n} \frac{\pi}{2}))=\sqrt{2}(\cos( \frac{3\pi}{4}) +i \sin( \frac{5\pi}{4}))}\)
Coś chyba skopałem.
Dalej nie wiem co z tym zrobić:(

-- 17 lis 2011, o 21:15 --

Nadal nie mam pomysłów na to zadanie. Czas mnie trochę goni dlatego pozwolę sobie odświeżyć temat.