rozwiąż równanie

[kwachu]

Witam,

potrzebuje pomocy z zadaniem.

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ z ^{4} + 8 = 0}\) i przedstaw wielomian \(\displaystyle{ z ^{4} + 8 w}\)
postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach rzeczywistych.

Wydaje mi się, ze pierwsza część umiem. Wychodzą mi 4 pierwiastki \(\displaystyle{ z _{0}=2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} \cdot i, \;
z _{1} = -2 \sqrt{2}-2 \sqrt{2} \cdot i ,\; z _{2}=z_{1} ,\; z_{3}=z_{2}.}\)

[Lorek]

No coś nie bardzo te pierwiastki pasują. Najłatwiej to chyba tak:
\(\displaystyle{ z^4=-8\Rightarrow z=\sqrt[4]{8}\color{red}\sqrt[4]{-1}}\)
gdzie ten pierwszy pierwiastek to pierwiastek arytmetyczny, a ten drugi "czerwony" - pierwiastek zespolony.

[kwachu]

Rzeczywiscie cos jest nie tak, policzylem to jeszcze raz i wydaje mi sie ze teraz powinno byc ok.

\(\displaystyle{ z _{0}= \sqrt[4]{2}+ \sqrt[4]{2} \cdot i ; z _{1}=-\sqrt[4]{2}+ \sqrt[4]{2} \cdot ; z _{2}=-\sqrt[4]{2}+ -\sqrt[4]{2} \cdot ; z _{3}=-\sqrt[4]{2}+ \sqrt[4]{2} \cdot}\)

Teraz ok?

[Lorek]

Wcięło ci \(\displaystyle{ i}\) w paru miejscach i dwa razy masz ten sam pierwiastek.

[kwachu]

A moglby ktos powiedziec jak poradzic sobie z druga czescia ?

[alfgordon]

\(\displaystyle{ z^4 +8 =z^2 +(\sqrt{8})^2 =(z^2 +2\sqrt{2})^2 -2z^2 \cdot 2\sqrt{2} =(z^2 +2\sqrt{2})^2 -(2\sqrt[4]{2}z)^2 =(z^2 +2\sqrt{2} -2\sqrt[4]{2}z)(z^2 +2\sqrt{2} +2\sqrt[4]{2}z)}\)

[kwachu]

Nie bardzo rozumiem to pierwsze przejscie , czyli \(\displaystyle{ z ^{4}+8=z ^{2} + \sqrt{8 ^{2} }}\) , chyba wkradl sie tam jaki blad. Czy mozna to zrobic korzystajac z pierwiastkow ?

[Lorek]

\(\displaystyle{ z^4}\) powinno być, a tak poza tym jest ok (w sumie takie zadanie rodem z liceum). A co do sposobu z pierwiastkami: weź dwa do siebie sprzężone i policz \(\displaystyle{ (z-w_1)(z-w_2)}\) gdzie \(\displaystyle{ w_i}\) to właśnie te sprzężone do siebie pierwiastki. Potem weź następne dwa i zrób to samo.

[kwachu]

Dzieki za pomoc