Wzory redukcyjne w liczbach zespolonych

[Gabriel_Gotti]

Witam,

Prosiłbym o pomoc w wytłumaczeniu działania wzorów redukcyjnych. Mam pewne braki w trygonometrii.

Więc mam taki przykład:
\(\displaystyle{ \frac{7-3i}{5+2i} =...=1-i}\)
zatem:
z=1-i
\(\displaystyle{ \left| Z\right|= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = - \frac{ \sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \sqrt{2}}{2}}\)

Jest to IV ćwiartka \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{4}}\) czyli ( tutaj wyliczam sobie z tabelki ) \(\displaystyle{ \alpha =2 \pi - \frac{ \pi }{4} = \frac{7}{4} \pi}\)

\(\displaystyle{ Z= \sqrt{2}(cos \frac{7}{4} \pi +i \cdot sin \frac{7}{4} \pi )}\)

Stosując wzory redukcyjne, można rozpisać alfe jako \(\displaystyle{ ( \frac{6}{4} \pi + \frac{1}{4} \pi )= \frac{3}{2} \pi +\frac{1}{4} \pi = ( \frac{ \pi }{4} )}\)

I wszystko się zgadza z tym ,że w odpowiedziach jest wynik przy kącie alfa \(\displaystyle{ \frac{- \pi }{4}}\)

I ten minus mnie najbardziej nęka. No nie rozumiem tej kwestii. Wiem, że ze wzorów redukcyjnych wychodzi ,że \(\displaystyle{ sin( \frac{3}{2} \pi + \alpha )= -cos \alpha}\) Czyli jeśli dobrze rozumiem, minus przed cos zmienia znak w kącie na minus? Jednak przy \(\displaystyle{ cos (\frac{3}{2} \pi + \alpha)= sin \alpha}\) to tutaj nic się nie zmienia??

Tej kwestii nie rozumiem. I prosiłbym o jakieś łopatologiczne wyjaśnienie ewentualnie do odesłanie do konkretnych materiałów. Tylko proszę nie do całej trygonometrii szkoły średniej, bo na to nie mam niestety czasu:D:D.

I drugi przykład ,który razem z tym wyżej mi namieszał w głowie.

\(\displaystyle{ \frac{3}{2+2i} =...= \frac{3}{4} - \frac{3}{4} i}\)

to \(\displaystyle{ Z= \frac{3}{4} - \frac{3}{4} i}\)
\(\displaystyle{ \left| Z\right| = \frac{3 \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

to też jest IV ćwiartka i alfa jest takie samo jak wyżej czyli \(\displaystyle{ \frac{7}{4} \pi}\)

\(\displaystyle{ Z= \frac{3 \sqrt{2} }{4} (cos \frac{7}{4} \pi +i\frac{7}{4} \pi)}\)
czyli ze wzorów to samo co wyżej, przy czym tym razem w odpowiedziach jest samo \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) bez żadnego minusa i tego już totalnie nie rozumiem. Skoro to była też IV ćwiartka, te same wartości sinusa i cosinusa , to czemu tu jest bez tego minusa???

PS. Pytanie dodatkowe

Korzystamy na lekcjach z takiego oto koła. Może mi ktoś jest w stanie przybliżyć jak za pomocą tego koła odczytać wartość alfa. Ja do tej pory korzystałem z tabeli, która mówiła, że w 1 ćwiartce wartośc alfa to alfa, w drugiej pi - alfa, w trzecie pi+alfa, a w czwartej 2 pi - alfa. Nie rozumiem tego kółka. Ponoć pomaga też przy tych wzorach redukcyjnych, z tymi minusami.

Prosiłbym pomoc-- 16 lis 2011, o 23:37 --Czy argument liczby zespolonej jest równy \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) czy \(\displaystyle{ \frac{7}{4} \pi}\) zależy od tego jaki przedział przyjmuje się do obliczania argumentu? tzn. od \(\displaystyle{ (- \pi, \pi )}\) lub \(\displaystyle{ (0, 2 \pi )}\)???

W tym zadaniu np.

\(\displaystyle{ z=1- \sqrt{3}i}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right|= 2}\)

\(\displaystyle{ sin \alpha = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow \frac{ \pi }{3}}\)
Licząć z tabelki \(\displaystyle{ \alpha =2 \pi - \frac{ \pi }{3}= \frac{5}{3} \pi}\)

I teraz to czy przyjmę za argument \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\) czy \(\displaystyle{ \frac{5}{3} \pi}\) zależy od przyjętego przedziału??

Dodam jeszcze ,że w odpowiedziach do tego zadania jest podany wynik \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{3}}\) może mi ktoś wytłumaczyć skąd wziął się tam minus? Skąd może się w ogóle wziąć minus przy obliczaniu argumentu?? Jak to się liczy?? Trzeba rysować jakieś wykresy czy co??