Równanie kwadratowe-liczby zespolone

[Texas]

Witam, chciałbym poprosić kogos o wytłumaczenie mi jak rozwiazać to zadanie... wiem ze było tutaj juz wiele podobnych tematów jednak w żadnym z nich nie znalazłem tego co szukam. Jeżeli można, chciałbym aby zostało mi to wytłumaczone jak zwykłemu wieśniakowi, tzn "na chłopski rozum"

Rozwiąż równanie kwadratowe \(\displaystyle{ z^{2}-3z+3+i}\)

Oczywiście próbowałem robić samemu, ale gdy dochodze do pewnego momentu nie wiem co dalej.

Mianowicie:

\(\displaystyle{ \Delta=9-4\cdot1\cdot(3+i)=9-12-4i=-3-4i; \sqrt{\Delta}= \sqrt{-3-4i}}\)

Nawet nie wiem, czy to jest dobrze, wiec jeśli zrobilem coś źle prosze poprawcie mnie.
Tutaj kończy się moje rozwiązanie, nie wiem co dalej... Prosilbym jeszcze raz o wytlumaczenie krok po kroku na "chłopski rozum". Z góry dzieki.

[ares41]

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=a+bi}\)
Podnieś stronami do kwadratu i porównaj z \(\displaystyle{ -3-4i}\)

[Texas]

\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=a+bi/\uparrow ^{2}}\)
\(\displaystyle{ -3-4i=a^{2}-b^{2}}\)

a to część rzeczywista, b to część urojona, więc czy to będzie tak?
\(\displaystyle{ a^{2}=-3; b^{2}=4i}\)

[ares41]

A wzorach skróconego mnożenia kolega słyszał ?

[Texas]

\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}+2abi=-3-4i}\)
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}=-3; 2abi=-4i}\)

\(\displaystyle{ a^{2}=b^{2}-3}\)
\(\displaystyle{ a=b- \sqrt{3}}\)
lub
\(\displaystyle{ a=-b+ \sqrt{3}}\)

Nie wiem czy pisać dalej, bo nie wiem czy to to koledze chodzi, a robienie ze mnie idioty jakos nie pomaga, po to pytam zeby wiedzieć.

[ares41]

Trzy pierwsze linijki są poprawne - dalej - no niestety - ten sam problem ze wzorami skróconego mnożenia.

Zadanie sprowadza się do rozwiązania układu
\(\displaystyle{ \begin{cases}a^2-b^2=-3 \\ ab=-2 \end{cases}}\)

[Texas]

Nie napisalem ze \(\displaystyle{ 2abi=-4i}\), wiedzialem ze trzeba to zrobic, ale chcialem sprawdzic czy o to chodzi, i nie wiem co masz na mysli, nie możesz po prostu napisac co trzeba zrobic? jaki problem ze wzorami skróconego mnożenia? chcialem wyznaczyć a i podstawic do drugiego równania... Napisze teraz rozwiązanie, które najprawdopodobniej będzie błędne, jakbys mi napisal DOKLADNIE co mam zrobic to by bylo po problemie, a ty tlumaczysz mi jak nauczyciel w szkole.

\(\displaystyle{ a= \frac{-2}{b} \\
\left( \frac{-2}{b} \right) ^{2}-b^{2}=-3 \\
\frac{4}{b^{2}}-b^{2}=-3/\cdot b^{2} \\
4-b^{4}=-3b^{2} \\
b^{4}-3b^{2}-4=0 \\
t=b^{2} \left( \text{ z oznaczenia }\right) \\
t^{2}-3t-4=0 \\
\Delta=9-4\cdot1\ctod \left( -4 \right) =25; \; \sqrt{\Delta}=5 \\
t_1=-1;\; t_2=4 \\
b^{2}=-1 \\
\text{ lub } \\
b^{2}=4}\)
no i dalej trzeba spierwiastkowac... mogłem sie tylko domyślać, że rozwiązanie jest takie, ponieważ nie powiedziales dokładnie, a ja nie jestem wróżką, a nawet jeżeli wychodze na idiote to proszę ponownie o wyjaśnienie

i jeszcze chciałbym sie dowiedzieć, skąd wiemy że \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=a+bi}\)

[ares41]

wiedzialem ze trzeba to zrobic, ale chcialem sprawdzic czy o to chodzi, i nie wiem co masz na mysli, nie możesz po prostu napisac co trzeba zrobic?

Przecież napisałem kolejne kroki, które masz wykonać...

jaki problem ze wzorami skróconego mnożenia?

A taki, że obliczasz

\(\displaystyle{ a^{2}=b^{2}-3\\
a=b- \sqrt{3}}\)

tak jakby \(\displaystyle{ a+b=c \Leftrightarrow a^2+b^2=c^2}\)

Napisze teraz rozwiązanie, które najprawdopodobniej będzie błędne,

Na razie jest OK, z zastrzeżeniem, że nie możesz użyć symbolu delty ( kolizja oznaczeń.) Nazwij ją np. \(\displaystyle{ \Delta_1}\)

no i dalej trzeba spierwiastkowac...

...pamiętając, że \(\displaystyle{ b \in \mathbb{R}}\)

i jeszcze chciałbym sie dowiedzieć, skąd wiemy że \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=a+bi}\)

Bo \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) jest pewną liczbą rzeczywistą ( tutaj zastosujemy takie oznaczenie, czasami tym symbolem oznacza się również zbiór pierwiastków z delty ), czyli da się ją przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\) , gdzie \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\)

jakbys mi napisal DOKLADNIE co mam zrobic to by bylo po problemie, a ty tlumaczysz mi jak nauczyciel w szkole.

Bo taka jest idea tego Forum.

[Texas]

gdy spierwiastkujemy
\(\displaystyle{ b=1i}\) lub \(\displaystyle{ b=-1i}\) lub \(\displaystyle{ b=2}\) lub \(\displaystyle{ b=-2}\)
napisałeś że \(\displaystyle{ b\in \mathbb{R}}\), więc nie możemy przyjąć dwóch pierwszych rozwiązań? no bo \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) w rzeczywistych nie istnieje, a w zespolonych to \(\displaystyle{ 1i}\). I co mam dalej zrobic? z czego policzyc delte?
a może bedzie to tak
\(\displaystyle{ b=1}\) lub \(\displaystyle{ b=-1}\) lub \(\displaystyle{ b=2}\) lub \(\displaystyle{ b=-2}\)
i wtedy trzeba policzyć a, i podstawic do
\(\displaystyle{ z_{1}=a_{1}+bi_{1}\\z_{2}=a_{2}+bi_{2}}\)
napisz prosze czy cos z tego co napisalem ma sens, a jak nie to mnie popraw i napisz z czego mam policzyc delte

[ares41]

Jeżeli \(\displaystyle{ b^{2}=-1}\) lub \(\displaystyle{ b^{2}=4}\) , dla \(\displaystyle{ b \in \mathbb{R}}\) to oczywiście \(\displaystyle{ b=2}\) lub \(\displaystyle{ b=-2}\).

Teraz wyznaczasz \(\displaystyle{ a}\) z warunku \(\displaystyle{ a= \frac{-2}{b}}\)

Dostajemy dwa rozwiązania \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\)

Rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=-1+2i\;\; \vee \;\; \sqrt{\Delta}=1-2i}\)

które następnie wstawiamy do wzoru na pierwiastki równania kwadratowego.
Łatwo zauważyć, że obojętnym jest, którą z obliczonych wartości \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) wstawimy do tego wzoru (spróbuj to uzasadnić ).

[Texas]

Twoje wytłumaczenie niewiele mi dało, jednak po konsultacji z kolega doszedłem to tego co trzeba.
Mamy:
\(\displaystyle{ \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a}\\i\\ \frac{-b+ \sqrt{\Delta} }{2a}}\)
kiedy podstawimy do wzoru oba rozwiązania:
\(\displaystyle{ \frac{-b-(-1+2i)}{2a}\\i\\ \frac{-b+1-2i}{2a}}\)
pierwsze równanie będzie się równać drugiemu, dlatego

obojętnym jest, którą z obliczonych wartości \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) wstawimy do tego wzoru.

Wiem, że nie dawaleś mi jasnych odpowiedzi po to, zebym coś zrozumiał, jednak ja nic nie zrozumiałem, bo jestem tępakiem, i trzeba mi wszystko wyjaśnic jak zwykłemu debilowi z ulicy. Jeżeli tak brzmi rozwiązanie, to dziekuje Ci za poświecony mi czas i za "wytłumaczenie":D Rozjaśniło mi sie co nieco w głowie:)