Pierwiastki wielomianu

[kamil1014]

Znaleźć pierwiastki wielomianu i przedstawic je graicznie:
\(\displaystyle{ W(z)= z^{4}-i z^{2}+2}\)

[ares41]

Podstawienie \(\displaystyle{ t=z^2}\)

[kamil1014]

no podstawiam i wychodzi \(\displaystyle{ z^{2}=-i \vee z^{2}=-2i}\)
Tylko co z tym dalej zrobic.

[ares41]

Korzystasz albo z postaci trygonometrycznej, albo z podstawienia \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i porównanie części rzeczywistej i urojonej.

[Psiaczek]

Korzystasz albo z postaci trygonometrycznej, albo z podstawienia \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i porównanie części rzeczywistej i urojonej.

Dobrze mówi, tak zrób, tylko popraw błędy które musiałeś mieć wcześniej, gdyż powinieneś otrzymać

\(\displaystyle{ z^2=-i \vee z^2=2i}\) nie ma minusa przed tym drugim

[kamil1014]

To może ktoś podać te pierwiastki, bo nie wiem czy to co dalej licze ma sens. Bo po wymnozeniu tego wychodzi ze x=y a 2*x*y=-1. Nie wiem czy to dobrze liczę, dlatego prosze o podanie tych pierwiastkow.

[Psiaczek]

pokażę ci przykładowo dla \(\displaystyle{ z^2=2i}\)

\(\displaystyle{ (x+yi)^2=2i}\)

\(\displaystyle{ (x^2-y^2)+2ixy=2i}\)

porównujemy części rzeczywiste i urojone, otrzymując układ

\(\displaystyle{ x^2-y^2=0,2xy=2}\)

z pierwszego równania \(\displaystyle{ x=y \vee x=-y}\)

jeśli \(\displaystyle{ x=y}\) to z drugiego \(\displaystyle{ y^2=1,y=1 \vee y=-1}\)

dostajesz zatem dwa rozwiązania \(\displaystyle{ 1+i,-1-i}\)

jeśli natomiast \(\displaystyle{ x=-y}\) to z drugiego \(\displaystyle{ y^2=-1}\)

ale \(\displaystyle{ x,y \in R}\) czyli tutaj brak rozwiązań.

[kamil1014]

ok dzięki, a możesz mi jeszcze powiedzieć jaki będzie argument przy takiej nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi \le arg(3iz) \le 2 \pi}\)