Wykazać nierówność

[CJ168]

1)Wykazać, że dla dowolnych \(\displaystyle{ z,w \in \mathbb{C} \setminus \left\{ 0\right\}}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ \frac{\left| z\right| +\left| w\right| }{\left| z+w\right| }\left| \frac{\left| z\right| }{\overline{Z}}+ \frac{\left| w\right| }{\owerline{w}} \right| \le 2}\)
2)Wykazać, że dla dowolnych \(\displaystyle{ z,w \in \mathbb{C} \setminus \left\{ 0\right\}}\) takich, że \(\displaystyle{ zw\not\in\matbb{R}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{z\left| w\right|+w\left| z\right| }{\left| zw\right| +zw} \in \matbb{R}}\)
Z góry dzięki za pomoc

[Dasio11]

2. Jeśli \(\displaystyle{ z=r_1 (\cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi )}\) oraz \(\displaystyle{ w= r_2 (\cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi),}\) to

\(\displaystyle{ \frac{z|w| + w|z|}{|zw|+zw} = \frac{\frac{z}{|z|} + \frac{w}{|w|}}{1+\frac{wz}{|wz|}} = \frac{\cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi + \cos \psi + \mathrm i \sin \psi}{1+\cos (\varphi + \psi) + \mathrm i \sin (\varphi + \psi)} = \frac{2 \cos \frac{\varphi-\psi}{2} \left( \cos \frac{\varphi+\psi}{2} + \mathrm i \sin \frac{\varphi+\psi}{2} \right)}{2 \cos \frac{\varphi + \psi}{2} \left( \cos \frac{\varphi + \psi}{2} + \mathrm i \sin \frac{\varphi+\psi}{2} \right)} = \frac{\cos \frac{\varphi-\psi}{2}}{\cos \frac{\varphi+\psi}{2}}}\)

[kullcia]

a z czego wynika, że
\(\displaystyle{ |z|=1, |w|=1, |zw|=1}\) ??

[Dasio11]

To nie musi być prawda, ale

\(\displaystyle{ \frac{z}{|z|} = \frac{r_1(\cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi)}{r_1} = \cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi \\ \\
\frac{w}{|w|} = \frac{r_2(\cos \psi + \mathrm i \sin \psi)}{r_2} = \cos \psi + \mathrm i \sin \psi}\)