Sprawdzenie przykładów...

[Piczet]

1.Oblicz korzystając z własności trygonometrycznych.

\(\displaystyle{ (4+4i)(-3+3i)}\)

\(\displaystyle{ (4+4i) \\ \\
|z|= \sqrt{ 4^2+4^2 } = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} \\
\cos = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\
\sin = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\
z_1 =4 \sqrt{2} \left( \cos \frac{ \pi }{4} + i \sin \frac{ \pi }{4} \right)}\)


\(\displaystyle{ (-3+3i) \\ \\
|z|= 3 \sqrt{2} \\ \\
z= 3 \sqrt{2} \left( \cos \frac{ \pi }{4} + i \sin \frac{ \pi }{4} \right)}\)


\(\displaystyle{ z_1 \cdot z_2 = 4 \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} \left[ \cos \left( \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi }{4} \right) +i \sin \left( \frac{ \pi }{4}+ \frac{ \pi }{4} \right) \right] \\ \\
z_1 \cdot z_} = 24 \left( \cos \frac{ 2\pi }{4} + i \sin \frac{2 \pi }{4} \right)}\)


2. Oblicz korzystając z własności trygonometrycznych.

\(\displaystyle{ \frac{ \left( -1- \sqrt{3i} \right) ^{9} }{ \left( 1+\sqrt{3i} \right) ^{4}} \\ \\
\left( -1- \sqrt{3i} \right) ^{9} \\ \\
|z|=2 \\ \\
z=2 \left( \cos \frac{4 \pi }{3} + i \sin \frac{4 \pi }{3} \right) \\ \\
z ^{9} =512 \left( \cos \frac{8 \pi }{3} + i \sin \frac{8 \pi }{3} \right)}\)

Mianownik zrobiłem analogicznie i wyszło
\(\displaystyle{ z^4=16 \left( \cos \frac{2 \pi }{3} + i \sin \frac{2 \pi }{3} \right)}\)

I nie wiem co dalej z tym zrobić :/

Proszę o pomoc

[Dasio11]

1.
Argumentem \(\displaystyle{ (-3+3 \mathrm i)}\) nie jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}.}\)

2.
Na pewno \(\displaystyle{ \sqrt{3 \mathrm i}}\) a nie \(\displaystyle{ \sqrt{3} \mathrm i?}\)

\(\displaystyle{ \left(-1-\sqrt{3} \mathrm i \right)^9 = 512 \left( \cos 9 \cdot \frac{4 \pi}{3} + \mathrm i \sin 9 \cdot \frac{4 \pi}{3} \right)=512( \cos 12 \pi + \mathrm i \sin 12 \pi) = 512( \cos 0 + \mathrm i \sin 0)}\)

Podobnie,

\(\displaystyle{ \left( 1+\sqrt{3} \mathrm i \right)^4 = 16\left( \cos 4 \cdot \frac{\pi}{3} + \mathrm i \sin 4 \cdot \frac{\pi}{3} \right) = 16 \left( \cos \frac{4 \pi}{3} + \mathrm i \sin \frac{4 \pi}{3} \right)}\)

Teraz liczby przed nawiasem z licznika i mianownika należy zwyczajnie podzielić, a przy dzieleniu nawiasów skorzystać ze wzoru

\(\displaystyle{ \frac{\cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi}{\cos \psi + \mathrm i \sin \psi} = \cos \left(\varphi - \psi \right) + \mathrm i \sin \left( \varphi - \psi \right).}\)

[Piczet]

Wielkie dzięki że mi podałeś wzór własnie tego było mi potrzeba. Możesz jeszcze powiedzieć czemu z\(\displaystyle{ 512( \cos 12 \pi + \mathrm i \sin 12 \pi) = 512( \cos 0 + \mathrm i \sin 0)}\) ? Albo jakieś opracowanie liczb zespolonych ? Troche o nich znalazłem na necie ale tego nie rozumie.

[amatorska_ekspertyza]

\(\displaystyle{ \sin{\alpha}=\sin{(\alpha+360^o \cdot k)} \\\large \cos{\alpha}=\cos{(\alpha+360^o \cdot k)}}\)

innymi słowy \(\displaystyle{ 12 \pi}\) to wielokrotność \(\displaystyle{ 2 \pi}\) , kręcisz się w kółko 6 razy i jesteś na tym samym miejscu

[Piczet]

1. Argument to \(\displaystyle{ (-3+3 \mathrm i)}\) to\(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\)

2.
\(\displaystyle{ 16 \left( \cos \frac{4 \pi}{3} + \mathrm i \sin \frac{4 \pi}{3})}\)
Tego już nie ruszać ? Bo jak się pokręcę \(\displaystyle{ \frac{4 \pi}{3}}\) to już nie stoję w miejscu .

[Dasio11]

1. OK;

2.
\(\displaystyle{ \frac{ \left( -1- \sqrt{3} \mathrm i \right)^9}{ \left( 1+\sqrt{3} \mathrm i \right)^4}}\)

Chcesz wykonać takie dzielenie. W tym celu obliczyłeś, że

\(\displaystyle{ \frac{ \left( -1- \sqrt{3} \mathrm i \right)^9}{ \left( 1+\sqrt{3} \mathrm i \right)^4} = \frac{512( \cos 0 + \mathrm i \sin 0)}{16 \left( \cos \frac{4 \pi}{3} + \mathrm i \sin \frac{4 \pi}{3} \right)} = \frac{512}{16} \cdot \frac{\cos 0 + \mathrm i \sin 0}{\cos \frac{4 \pi}{3} + \mathrm i \sin \frac{4 \pi}{3}}}\)

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru na dzielenie liczb postaci \(\displaystyle{ \cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi,}\) który podałem.

[Piczet]

Ale wtedy cos i isin wyjdą ujemne :/ i suma sumarum będzie to wyglądać tak :
\(\displaystyle{ 32\left( -cos \frac{4 \pi }{3} - isin \frac{4 \pi }{3} \right)}\)

Chyba że znów coś sknociłem :/

[Dasio11]

Nie \(\displaystyle{ \cos}\) i \(\displaystyle{ \mathrm i \sin,}\) tylko ich argumenty. Wynik to

\(\displaystyle{ 32 \left( \cos \left( - \frac{4 \pi}{3} \right) + \mathrm i \sin \left( - \frac{4 \pi}{3} \right) \right).}\)

Teraz chyba należy zamienić to na postać algebraiczną (choć teoretycznie nie trzeba, bo to już jest wynik).

[Piczet]

Już nie trzeba zmieniać . Wielkie dzięki za wytłumaczenie tych przykładów
pozdrawiam