równanie liczby zespolone

[mordormordor]

Witam,
Mam problem z rozwiązaniem następującego równania. Wiem że trzeba podstawić z=a+bi a jednak nie potrafię go rozwiązać. Proszę o pomoc:

\(\displaystyle{ z^2-3=4i}\)

odpowiedź do zadania: z1=2i ; z2=-2-i

[BettyBoo]

Skoro wiesz, że trzeba podstawić, to czego konkretnie nie wiesz? Pokaż jakies obliczenia, to zobaczymy w czym rzecz.

Pozdrawiam.

[mordormordor]

OK,
wiec za z podstawiam a+bi
\(\displaystyle{ z^2-3=4i}\)
\(\displaystyle{ \left( a+bi\right)^2-3=4i}\)
\(\displaystyle{ a^2-b^2+2abi-3=4i}\)
Wyjmuję część urojoną i rzeczywistą
\(\displaystyle{ a^2-b^2-3=0}\)

\(\displaystyle{ 2ab=4}\)

\(\displaystyle{ a= \frac{2}{b}}\)
Wiec teraz chyba powinienem podstawić a do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ \frac{4}{b^2}-b^2-3=0 / *-b^2}\)

\(\displaystyle{ b^4+3b^2-4=0}\)
Wstawiam zmienną pomocniczą b^2=t
\(\displaystyle{ t^2+3t-4=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=25 \sqrt{\Delta}=5}\)

\(\displaystyle{ t1=1 ; t2=-4}\)

Wiem że \(\displaystyle{ t=b^2}\)

wiec \(\displaystyle{ b^2=1 ; b^2=-4}\)

Mogę wnioskować że b=1 lub b=2i jednak nie wiem co dalej jak dojść do ostatecznego rozwiązania. Jaki jest tutaj tok rozumowania. Proszę o pomoc

[BettyBoo]

Wszystko jest OK, z wyjątkiem ostatniego zdania.

Mówiąc, że "podstawiasz \(\displaystyle{ z=a+bi}\)" tak naprawdę masz na myśli, że zapisujesz liczbę \(\displaystyle{ z}\) w postaci algebraicznej - a więc to oznacza, że \(\displaystyle{ a,b}\) są liczbami rzeczywistymi.

Uzbrojony w tą dodatkową informację, możesz dokończyć zadanie: z warunków wynika, że \(\displaystyle{ b=\pm 1}\), a więc - postawiając do warunku na \(\displaystyle{ a}\) - otrzymamy dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ a=2,b=1}\) oraz \(\displaystyle{ a=-2, b=-1}\).

Wobec tego - podstawiając do warunku na \(\displaystyle{ z}\) - mamy dwie odpowiedzi \(\displaystyle{ z=2+i,\ z=-2-i}\).

Pozdrawiam.

[mordormordor]

Dzięki serdeczne. Jest to dla mnie jak najbardziej logiczne. Myląca jest odpowiedź gdyż z tyłu książki w odpowiedziach znalazłem odpowiedź do zadania: z1=2i ; z2=-2-i . Rozumiem że to jakiś błąd ze strony wydawcy książki.-- 9 lis 2011, o 11:50 --Mam jeszcze jedno pytanie z innej beczki. Właśnie przygotowuje się do kolokwium i jeszcze jeden rodzaj zadania nie daje mi spokoju. Mam następujące równanie:
\(\displaystyle{ z^3+3z-2i=0}\)
Jak się do tego zabrać

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ z^3+3z-2i=z^3+z+2z-2i=...}\)

Pozdrawiam.

[Psiaczek]

Mam następujące równanie:
\(\displaystyle{ z^3+3z-2i=0}\)
Jak się do tego zabrać

najszybciej to:zauważyć że \(\displaystyle{ i}\) jest pierwiastkiem , podzielić przez dwumian:

\(\displaystyle{ (z-i)(z^2+iz+2)=0}\)

zauważyć że dla trójmianu w drugim nawiasie \(\displaystyle{ i}\) jest znów pierwiastkiem , podzielić :

\(\displaystyle{ (z-i)(z-i)(z+2i)=0}\)

czyli podwójny pierwiastek \(\displaystyle{ i}\) oraz pojedyńczy \(\displaystyle{ -2i}\) . Koniec