Liczenie sumy ze wzoru de Moivre'a

[janas]

Korzystając ze wzoru de Moivre'a policz sumę
\(\displaystyle{ \sin{x}+\sin{(2x)}+\cdots+\sin{(nx)}}\).

[Qń]

Wskazówka - policz sumę:
\(\displaystyle{ (\cos x + i\sin x) +(\cos x + i\sin x)^2+(\cos x + i\sin x)^3+\ldots +(\cos x + i\sin x)^n}\)
na dwa sposoby: raz jako sumę ciągu geometrycznego, raz korzystając ze wzoru d'Moivre'a.

Następnie porównaj części urojone wyników, które otrzymasz w każdym ze sposobów.

Q.

[janas]

Dziękuję, wyszło. Zastanawiam się jednak, czy nie da się tego prościej zrobić, bo obliczeń dla tej metody potrzeba aż całą stroną, aby uzyskać pożądany wynik (jak w książce), czyli \(\displaystyle{ \frac{\sin\frac{nx}{2}\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}}\). Zastanawiam się więc, czy wynik ten nie sugeruje innego rozwiązania, bo żeby go dostać, trzeba trochę poprzekształcać. Przepraszam, że jestem wybredny, ale jakby komuś jeszcze przyszło do głowy jakieś inne rozwiązanie, to będę wdzięczny również.

[Qń]

Alternatywnie można też użyć indukcji. To trochę szybsze, ale ma tę wadę, że musimy z góry wiedzieć jakiego wzoru chcemy dowodzić. A z użyciem liczb zespolonych szybciej się nie da. Ale też nie są to jakieś kosmiczne rachunki: tak naprawdę sprawa sprowadza się do znalezienia algebraicznej postaci liczby zespolonej która wyjdzie ze zsumowania ciągu geometrycznego i potem jeszcze użycia wzorów trygonometrycznych. Można się zmieścić na połowie strony .

Q.