Liczby zespolone-płaszczyzna zespolona i potęgowanie

[prawyakapit]

Napotkałam na dwa problemy przy rozwiązywaniu zadań z liczb zespolonych:
otóż:
1) mam \(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{\sqrt{10}}{10}}\) próbowałam wyznaczyć ten kąt ale mi sie nie udało, może mi coś podpowiecie ?
2) Przedstaw na płaszczyźnie zespolonej: \(\displaystyle{ 0<\arg \left(z^3 \right)<\frac{\pi}{2}}\)

[Dasio11]

1) Kąt będzie brzydki, nie da rady z nim działać. Jeśli potrzebny jest do wzoru de Moivre'a na pierwiastkowanie - lepiej pierwiastek z liczby o kącie \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{10}}{10}}\) policzyć ręcznie.

2) Jeśli \(\displaystyle{ z=r \left( \cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi \right),}\) to zachodzi równoważność

\(\displaystyle{ 0< \arg z^3 < \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \bigg( 2k \pi < 3 \varphi < 2k \pi + \frac{\pi}{2}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb Z \bigg)}\)

[prawyakapit]

1) potrzebny mi ten kąt do wzoru na potęgowanie
2) dlaczego dodajesz \(\displaystyle{ 2k \pi}\) zamiast odjąć ?

[Dasio11]

1) W takim razie radzę odpuścić sobie wzór de Moivre'a i spróbować wykonać potęgowanie ręcznie.
2) Wszystko jedno, bo \(\displaystyle{ k \in \mathbb Z}\) może być i ujemne i nieujemne.