Równanie z liczb zespolonych.

[Naun]

Mam takie równanie, niestety nie mam odpowiedzi i nie chcę sam siebie wprowadzać w błąd robiąć źle.

\(\displaystyle{ z^{3} = -27 \Leftrightarrow z^{3} + 27 = 0 \Leftrightarrow \left( z+3\right)\left( z^{2} - 3z + 9 \right) = 0}\)
\(\displaystyle{ z = -3 \vee \Delta = 9 - 4 - 9 = -27 \Leftrightarrow \sqrt{\Delta} = \sqrt{-27} = 27 i^{2} = i \sqrt{27}}\)

Czy do tego momentu robię wszystko dobrze?

[Qń]

\(\displaystyle{ \left( z+3\right)\left( z^{2} - 3z + 9 \right) = 0}\)
\(\displaystyle{ z = -3 \vee \Delta = 9 - 4 - 9 = -27 \Leftrightarrow \sqrt{\Delta} = \sqrt{-27} = 27 i^{2} = i \sqrt{27}}\)

Fatalnie zapisane.

Mamy:
\(\displaystyle{ \left( z+3\right)\left( z^{2} - 3z + 9 \right) = 0 \Leftrightarrow z+3=0 \vee z^{2} - 3z + 9 =0}\)
Pierwsze równanie daje oczywiście rozwiązanie \(\displaystyle{ z=-3}\), natomiast drugie równanie jest kwadratowe, rozwiązujemy je więc licząc deltę:
\(\displaystyle{ \Delta = 9-36=-27}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\pm 3i\sqrt{3}}\)

Q.

[Naun]

Trochę niestety byłem zmuszony opuścić zajęć z tego działu i teraz muszę nadrobić, dlatego zadaję tak banalne pytania.
I wyliczamy resztę \(\displaystyle{ z}\) z delty jeśli dobrze rozumiem?

[Qń]

Tak, by rozwiązać drugie równanie należy użyć wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.

Q.

[Naun]

Czyli rozwiązaniami równania są

\(\displaystyle{ z=-3 \vee z= \frac{3-i \sqrt{27} }{2} \vee \frac{3+i \sqrt{27}}{2}}\)

Rozumiem, że moje pytanie są banalne dla niektórych, ale dopiero się uczę zadań z tego zakresu i staram się je zrozumieć jak najlepiej.

Naun.

[alfgordon]

dobrze

[Naun]

Uf, trochę mi ulżyło.
Wiem, że to proste równania, ale matematyka na 1 roku studiów lekko mnie zaskoczyła, a myślałem, że zawsze byłem dobry. Bywa, trzeba teraz przysiąść trochę.