Kilka równań rozmaitych

[mordormordor]

Witam,
Dopiero co zaczynam z liczbami zespolonymi. Jak dotąd jakoś mi szło rozwiązywanie zadań jednak przy równaniach mam niejeden problem. Mam kilka równań do rozwiązania. Kolokwium się zbliża a ja nijak nie potrafię dojść do poprawnych wyników. Proszę zatem o pomoc. Przykładów na forum jest dużo ale są rozmieszone strasznie chaotycznie. Nie mogę nigdzie znaleźć konkretnej instrukcji jak liczyć równania w liczbach zespolonych. Podaje przykłady które mam wyliczyć, jeśli to możliwe to proszę o w miarę łopatologiczne wytłumaczenie jak i co się liczy. A oto przykłady:

1. \(\displaystyle{ \overline z=z^2}\)
2. \(\displaystyle{ z^2+8=6i}\)
3. \(\displaystyle{ z \cdot \overline z+z=3+i}\) Do tego kompletnie nie wiem jak się zabrać

4. \(\displaystyle{ \frac{1}{z}+\overline z=2}\)
5. \(\displaystyle{ z^2-3=4i}\)

6. \(\displaystyle{ \left( 1-i\right)^2z^3-2i^3=0}\) To też dla mnie czarna magia

Dziękuję wszystkim z góry za pomoc.
7. \(\displaystyle{ Re\left( z^2-2\right)=\overline z}\)

[norwimaj]

1. Jak weźmiesz wartość bezwzględną obu stron równania, to dostaniesz \(\displaystyle{ |z|=|z|^2}\), czyli \(\displaystyle{ |z|=0}\) lub \(\displaystyle{ |z|=1}\). W pierwszym przypadku mamy \(\displaystyle{ z=0}\), a w drugim po pomnożeniu równania przez \(\displaystyle{ z}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ |z|^2=z^3}\), czyli \(\displaystyle{ z^3=1}\) co już jest łatwe do rozwiązania.

2. Jest ogólna metoda liczenia pierwiastka kwadratowego z liczby zespolonej, ale tu chyba najszybciej jest zgadnąć:
\(\displaystyle{ z^2+8=6i\iff z^2-(1+6i-9)=0 \iff z^2-(1+3i)^2=0 \iff\\ (z-(1+3i))(z+(1+3i))=0}\)

3. Po przekształceniu mamy \(\displaystyle{ |z|^2-3=i-z}\), skąd natychmiast widać, że część urojona \(\displaystyle{ z}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\). Można dalej podstawić \(\displaystyle{ z=a+i}\) dla \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\) i rozwiązać równanie.

[mordormordor]

Dziéki serdeczne. Możecie mi podać jakieś namiary na strony lub książki gdzie znajde informacje dotyczące rozwiązywania właśnie takich równań. Właśnie z równaniami mam problem i tymi przekształceniami. Proszę o pomoc przy następnych zadaniach. Dzieki Wszystkim

[Naun]

Podłączam się pod prośbę kolegi o materiały z jakimś wytłumaczeniem, najlepiej dość szczegółowym.


Z góry dzięki.

[mordormordor]

Byłoby super mieć jakieś materiały do nauki. A tymczasem czy jest ktoś w stanie rozwiązać pozostałe równania?-- 9 lis 2011, o 09:18 --Odnośnie pierwszego równania. Jak doszło do tego że z=1. Sprawdzając odpowiedzi\(\displaystyle{ z=0, z=-1}\) a co za tym idzie pierwiastki dla\(\displaystyle{ z =-1}\). Jak to wyjaśnić.