Problem z pierwiastkowaniem liczby zespolonej

[mateusz9206]

Hej, cześć i czołem.
Jest sobie taka liczba \(\displaystyle{ z = -1 + 2j}\)
muszę policzyć \(\displaystyle{ \sqrt{z} ; \sqrt{z} = \sqrt{-1 + 2j}}\)
No to jazda, robię tak jak mnie uczono, jak coś nie zgadza to krzyczeć i tłumaczyć dlaczego tak
\(\displaystyle{ [\sqrt{-1 + 2j} = a + bj]^2}\)
\(\displaystyle{ -1 + 2j = a^{2} - b^{2} + 2abj}\)

\(\displaystyle{ \begin{testrasda} -1 = a^{2} - b^{2} \\ 2 = 2ab \end{testts}}\)
z drugiej linijki mam, że \(\displaystyle{ \frac{2}{2a}=b}\)

I teraz jak podstawiam to do pierwszej linijki to mi wychodzi czary mary, raz wyszło, że \(\displaystyle{ a ^{2} = -1}\), to coś na pewno nie tak. Ktoś mógłby mi pokazać co dalej, i jak podstawić te drugie do pierwszej linii? ;p

BTW, gdyby nie ten tex to pisałbym 20 postów dziennie, ale żeby napisać posta to się głowię dobre 15 minut xd

EDIT:
Dobra, to chyba powinno być tak:
\(\displaystyle{ -1 = a^{2} - (\frac{1}{a} )^{2}}\)
\(\displaystyle{ -1 = a ^{2} - \frac{1}{ a^{2}}}\)
\(\displaystyle{ -a ^{2} = a ^{4} - 1}\)
\(\displaystyle{ 1 = a ^{4} + a ^{2}}\)

i zaciąłem się, dalej nie wiem co robić xD

[joe74]

Równanie dwukwadratowe otrzymałeś. Podstaw \(\displaystyle{ t = a ^{2} \ \ge 0}\), i wtedy:

\(\displaystyle{ t ^{2} + t - 1 = 0}\)

[piti-n]

a nie lepiej robić takie zadania ze wzoru Moivre'a?

[mateusz9206]

O wzorze Moivra pierwsze słyszę. Z tym podstawianiem dobry pomysł, sprawdzę jutro. Chociaz dawno z tego nie korzystałem, pewnie nawet w takim równianiu 10 razy po drodze się pomyle. Jest jeszcze jakaś inna metoda?

[Dasio11]

piti-n, lepiej, o ile znajdziesz ładny kąt liczby \(\displaystyle{ -1+2 \mathrm i.}\)

[mateusz9206]

o właśnie, to może teraz troche zmienimy temat i mi pomożecie z kątem
cos wychodzi\(\displaystyle{ cos = -\frac{ \sqrt{5} }{5}}\)
\(\displaystyle{ sin = \frac{2 \sqrt{5} }{5}}\)

Dla cos wychodzi kąt koło 116, co pasuje, bo liczba jest w drugiej ćwiartce
dla sin tak czy siak wychodzi kąt koło 63.
Jeśli pominimemy znak w cos (kolega mówi że tak trzeba robić, może ja tego nie wiem) to wtedy też mamy kąt koło 63.

Gdzie jest racja, gdzie jest błąd? Dla 63 kąt wychodzi w radianach \(\displaystyle{ \frac{16}{45} \pi}\)

[Dasio11]

Przede wszystkim, wyliczony kąt nie będzie dokładny, więc obliczenia przeprowadzone na jego podstawie też nie. Jednak jeśli bardzo chcesz ten kąt wyliczyć, to będzie to raczej \(\displaystyle{ \sim 117^{\circ},}\) bo jeśli

\(\displaystyle{ \sin 63^{\circ} \approx \frac{2 \sqrt{5}}{5},}\)

to również

\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{5}}{5} \approx \sin \left( 180^{\circ} - 63^{\circ} \right) = \sin 117^{\circ}.}\)


Dla dokładnego wyniku \(\displaystyle{ \sqrt{-1+2 \mathrm i}}\) należy dokończyć równanie kwadratowe:

\(\displaystyle{ t^2+t-1=0}\)

i naprawdę polecam ten sposób, bo ze wzorami na pierwiastki to jest łatwiutkie. :]