Równanie , co robie źle ?

[Zao90]

witam , mam do rozwiązania takie równanie w zborze liczb zespolonych:

\(\displaystyle{ z^{2}-5z+7+i=0}\)

robię tak:

\(\displaystyle{ \Delta = 25-4\left( 7+i \right) \\
\Delta= -3-4i \\
\sqrt{\Delta} = \sqrt{-3-4i} \\ \\
\sqrt{-3-4i} = a+bi \\
-3-4i=\left( a+ib\right)^2 \\
-3-4i=a^{2}-b^{2}+2abi}\)

mam układ równan:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -3=a^{2}-b^{2} \\ -4=2ab \end{cases}}\)

po obliczeniach wychodzi mi :

\(\displaystyle{ \frac{4-b^4+3b^2}{b^2}=0}\)

podstawiam za \(\displaystyle{ b^{2}= t}\)

\(\displaystyle{ -2t^{2}+3t+4=0 \\ \\
t_1= \frac{-10}{4} \quad t_2=1}\)

czyli \(\displaystyle{ b^{2}=1}\)
czyli \(\displaystyle{ b_1=1, \ b_2=-1, \ b_3= \sqrt{1}, \ b_4=- \sqrt{1}}\)

w takim razie \(\displaystyle{ a}\) wynosi:

\(\displaystyle{ a_1=-2, \ a_2=2, \ a_3=-2 \sqrt{1}, \ a_4=2 \sqrt{1}}\)

możliwe żeby było aż tyle rozwiązań tego równania ,w książce w odpowiedziach mam że \(\displaystyle{ z_{1}=2+i}\) i \(\displaystyle{ z_{2}=3-i}\)

gdzie robię źle albo mam błąd , bo że gdzieś jest to na pewno , a liczb zespolonych uczę się sam i nie wiem totalnie jak to robić :/

[aalmond]

W tym przejściu jest błąd:

po obliczeniach wychodzi mi :
\(\displaystyle{ \frac{4-b^{4}+3b^{2}}{b^{2}}=0}\)
podstawiam za \(\displaystyle{ b^{2}= t}\)

\(\displaystyle{ -2t^{2}+3t+4=0}\)

[Zao90]

faktycznie , ma być \(\displaystyle{ -t^{2}+3t+4=0}\) , wtedy \(\displaystyle{ t_{1}=4}\) i \(\displaystyle{ t_{2}=-1}\) , ale nie wiem co dalej , podstawiam z powrotem dodatnie t za \(\displaystyle{ b^{2}}\) i co dalej ?? \(\displaystyle{ b^{2}=4}\)...

może ktoś to zrobić do końca , nie chce gotowca czy coś , chce zobaczyć jak to "działa" , mam do przerobienia jeszcze kilkanaście podobnych zadań i nie wiem jak to ugryźć ;/

[aalmond]

jeżeli \(\displaystyle{ b ^{2} = 4}\), to: \(\displaystyle{ b _{1} = 2 \ \ \ b_{2} = - 2}\)
i odpowiednio: \(\displaystyle{ a _{1} = -1 \ \ \ a_{2} = 1}\)

[Zao90]

ok , tylko w takim razie \(\displaystyle{ z_{1}=-1+2i}\) a \(\displaystyle{ z_{2}=1-2i}\) , a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ z_{1}=2+i}\) i \(\displaystyle{ z_{2}=3-i}\)
hmm???-- 3 lis 2011, o 21:16 --dobra już mnie olśniło , te \(\displaystyle{ a_{1} b_{1} itd}\) co obliczyłem są dopiero do delty , a potem ze wzorów na \(\displaystyle{ x_{1} x_{2}}\) liczę z1 i z2 , troche zamotałem , ale ważne że wiem o co chodzi :p