Witam,
Mam problem z zadaniem:
Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór:
\(\displaystyle{ Im(z^3)>Re(z^3)}\)
Rozwiązałem tak, ale nie wiem gdzie mam błąd:
\(\displaystyle{ \sin 3 \alpha > \cos 3 \alpha}\)
\(\displaystyle{ \tg 3 \alpha > 1}\)
\(\displaystyle{ 3 \alpha \in \left( \frac{\pi }{4}; \frac{\pi }{2} \right) \cup \left( \frac{5\pi }{4}; \frac{3\pi }{2} \right) \cup \left( \frac{9\pi }{4}; \frac{5\pi }{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in \left( \frac{\pi }{12}; \frac{\pi }{6} \right) \cup \left( \frac{5\pi }{12}; \frac{3\pi }{6} \right) \cup \left( \frac{9\pi }{12}; \frac{5\pi }{6} \right)}\)
natomiast rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ \alpha \in \left( \frac{\pi }{12}; \frac{5\pi }{12} \right) \cup \left( \frac{9\pi }{12}; \frac{13\pi }{12} \right) \cup \left( \frac{17\pi }{12}; \frac{21\pi }{12} \right)}\)
Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór
Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór
Ostatnio zmieniony 2 lis 2011, o 23:31 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór
Trochę nieładnie dzielić przez zmienną, a co jak \(\displaystyle{ \cos 3\alpha<0}\) ? Już lepiej zapisać \(\displaystyle{ \sin 3\alpha-\cos 3\alpha>0}\) i odpowiednio zwinąć lewą stronę.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór
Całkiem ładne jest rozwiązanie geometryczno-trygonometryczne, ale potrzeba trochę wyobraźni.
Punkt \(\displaystyle{ z=0}\) jest OK, więc wkładamy go do zbioru rozwiązań i wywalamy z dalszych rozważań.
Szukamy takich \(\displaystyle{ z \in \mathbb C,}\) że \(\displaystyle{ z^3}\) należy do półpłaszczyzny
\(\displaystyle{ \left\{ (x, y) \in \mathbb R^2: y>x \right\},}\)
tzn. przeciwobrazu tej półpłaszczyzny przez funkcję \(\displaystyle{ w=z^3.}\) Ta półpłaszczyzna to suma półprostych, które dostajemy 'po drodze' przy obracaniu półprostej
\(\displaystyle{ l=\left\{ z \in \mathbb C: \arg z = \frac{\pi}{4} \right\}}\)
na półprostą
\(\displaystyle{ k=\left\{z \in \mathbb C: \arg z = \frac{5 \pi}{4} \right\}}\)
kręcąc w kierunku dodatnim [=przeciwnym do ruchu wskazówek zegara].
Przeciwobrazem półprostej \(\displaystyle{ l}\) przez funkcję \(\displaystyle{ w=z^3}\) jest suma trzech półprostych
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{l}=\left\{ z \in \mathbb C: \arg z = \frac{\pi}{12} \right\} \cup \left\{ z \in \mathbb C: \arg z = \frac{\pi}{12}+\frac{2 \pi}{3} \right\} \cup \left\{ z \in \mathbb C: \arg z = \frac{\pi}{12} + \frac{4 \pi}{3} \right\}}\)
zaś przeciwobrazem półprostej \(\displaystyle{ k}\) jest suma trzech półprostych
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{k}=\left\{ z \in \mathbb C: \arg z = \frac{5\pi}{12} \right\} \cup \left\{ z \in \mathbb C: \arg z = \frac{5\pi}{12}+\frac{2 \pi}{3} \right\} \cup \left\{ z \in \mathbb C: \arg z = \frac{5\pi}{12} + \frac{4 \pi}{3} \right\}.}\)
Bierzemy więc zbiorek \(\displaystyle{ \sqrt[3]{l}}\) (który wygląda trochę jak logo Mercedesa bez okręgu, przy czym półproste rozchodzą się w nieskończoność), i obracamy w kierunku dodatnim, aż dojdziemy do zbioru \(\displaystyle{ \sqrt[3]{k}.}\) Suma wszystkich półprostych, które były po drodze, jest szukanym przeciwobrazem.
Uwaga: Powyższe jest raczej pewnego rodzaju wizualizacją. Dla przyzwoitego rozwiązania o niebo lepiej przerachować warunek \(\displaystyle{ \arg z^3 \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4} \right),}\) niż bawić się w formalizację tego, wydaje mi się, intuicyjnie klarownego toku myślenia.
Punkt \(\displaystyle{ z=0}\) jest OK, więc wkładamy go do zbioru rozwiązań i wywalamy z dalszych rozważań.
Szukamy takich \(\displaystyle{ z \in \mathbb C,}\) że \(\displaystyle{ z^3}\) należy do półpłaszczyzny
\(\displaystyle{ \left\{ (x, y) \in \mathbb R^2: y>x \right\},}\)
tzn. przeciwobrazu tej półpłaszczyzny przez funkcję \(\displaystyle{ w=z^3.}\) Ta półpłaszczyzna to suma półprostych, które dostajemy 'po drodze' przy obracaniu półprostej
\(\displaystyle{ l=\left\{ z \in \mathbb C: \arg z = \frac{\pi}{4} \right\}}\)
na półprostą
\(\displaystyle{ k=\left\{z \in \mathbb C: \arg z = \frac{5 \pi}{4} \right\}}\)
kręcąc w kierunku dodatnim [=przeciwnym do ruchu wskazówek zegara].
Przeciwobrazem półprostej \(\displaystyle{ l}\) przez funkcję \(\displaystyle{ w=z^3}\) jest suma trzech półprostych
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{l}=\left\{ z \in \mathbb C: \arg z = \frac{\pi}{12} \right\} \cup \left\{ z \in \mathbb C: \arg z = \frac{\pi}{12}+\frac{2 \pi}{3} \right\} \cup \left\{ z \in \mathbb C: \arg z = \frac{\pi}{12} + \frac{4 \pi}{3} \right\}}\)
zaś przeciwobrazem półprostej \(\displaystyle{ k}\) jest suma trzech półprostych
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{k}=\left\{ z \in \mathbb C: \arg z = \frac{5\pi}{12} \right\} \cup \left\{ z \in \mathbb C: \arg z = \frac{5\pi}{12}+\frac{2 \pi}{3} \right\} \cup \left\{ z \in \mathbb C: \arg z = \frac{5\pi}{12} + \frac{4 \pi}{3} \right\}.}\)
Bierzemy więc zbiorek \(\displaystyle{ \sqrt[3]{l}}\) (który wygląda trochę jak logo Mercedesa bez okręgu, przy czym półproste rozchodzą się w nieskończoność), i obracamy w kierunku dodatnim, aż dojdziemy do zbioru \(\displaystyle{ \sqrt[3]{k}.}\) Suma wszystkich półprostych, które były po drodze, jest szukanym przeciwobrazem.
Uwaga: Powyższe jest raczej pewnego rodzaju wizualizacją. Dla przyzwoitego rozwiązania o niebo lepiej przerachować warunek \(\displaystyle{ \arg z^3 \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4} \right),}\) niż bawić się w formalizację tego, wydaje mi się, intuicyjnie klarownego toku myślenia.