moduł i argument

[studentPL]

obliczyć moduł i argument liczb \(\displaystyle{ e^{i \varphi} + e^{i \psi}}\) oraz \(\displaystyle{ e^{i \varphi} - e^{i \psi}}\)
jeśli można to metodą "krok po kroku"

[ymar]

obliczyć moduł i argument liczb \(\displaystyle{ e^{i \varphi} + e^{i \psi}}\) oraz \(\displaystyle{ e^{i \varphi} - e^{i \psi}}\)
jeśli można to metodą "krok po kroku"

Użyjemy .

\(\displaystyle{ e^{i\varphi}+e^{i\psi}=(\cos\varphi+i\sin\varphi)+(\cos\psi+i\sin\psi)=(\cos\varphi+\cos\psi)+i(\sin\varphi+\sin\psi).}\)

[studentPL]

czy to koniec ? to pełne rozwiązanie ?

[ymar]

czy to koniec ? to pełne rozwiązanie ?

Nie. Z jakiegoś powodu byłem przekonany, że pytanie jest o część rzeczywistą i część urojoną, a nie o moduł i argument. Ale to nie znaczy, że wszystko stracone. Czy umiesz obliczać moduł i argument liczby zespolonej, znając jej części rzeczywistą i urojoną? Jeżeli nie, odpowiednie wzory łatwo znajdziesz w internecie.

[studentPL]

to mój pierwszy kontakt z licz zesp dlatego właśnie chciałem zobaczyć pełne rozwiązania później poprzez analogie zrobię kilka przykładów i już będę wiedział co i jak ale najpierw chcę to zrozumieć i zobaczyć pełne poprawne rozwiązanie źle się nauczyć to lepiej wcale się nie nauczyć

[ymar]

Dobrze.

Moduł liczby zespolonej \(\displaystyle{ x+iy}\) to liczba rzeczywista nieujemna \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}.}\)

Zatem w naszym przypadku to

\(\displaystyle{ \sqrt{(\cos\varphi+\cos\psi)^2+(\sin\varphi+\sin\psi)^2}
=\sqrt{2+2\cos\varphi\cos\psi+2\sin\varphi\sin\psi}
=\sqrt{2+2\cos(\varphi-\psi)},}\)

jeśli się nie pomyliłem.

Wzór na argument jest niestety znacznie mniej przyjemny. Zacząć należy od tego że argument nie jest wyznaczony jednoznacznie. Jeżeli pewna liczba \(\displaystyle{ \phi}\) jest argumentem liczby zespolonej \(\displaystyle{ z,}\) to liczba \(\displaystyle{ \phi+2k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\) też jest argumentem liczby \(\displaystyle{ z.}\) Argument leżący w przedziale \(\displaystyle{ (-\pi,\pi]}\) jest już wyznaczony jednoznacznie. Ten argument często oznacza się symbolem \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}z.}\) Wzorów na ten argument jest sporo, ale wszystkie nieprzyjemne, klamerkowe. są dwa.

No więc chciałem się wykpić swoją poprzednią odpowiedzią. Zastosowanie tych wzorów dałoby jakąś odpowiedź, ale nie byłaby ona specjalnie pouczająca.

Lepiej popatrzmy na te nasze liczby zespolone, które dodaliśmy.

\(\displaystyle{ z_1=\cos\varphi+i\sin\varphi}\) oraz \(\displaystyle{ z_2=\cos\psi+i\sin\psi.}\)

Zwróć uwagę, że moduły tych liczb są równe 1. (Z jedynki trygonometrycznej i wzoru, który wcześniej podałem.) Geometrycznie oznacza to, że liczby te leżą (jako punkty na płaszczyźnie zespolonej) na okręgu o środku w 0 i promieniu 1. Argumenty tych liczb interpretujemy jako kąty nachylenia naszych liczb zespolonych (traktowanych jak wektory na płaszczyźnie zespolonej) do osi rzeczywistej. Suma tych liczb to po prostu suma tych wektorów. Wiesz na pewno, jak się znajduje sumę wektorów -- reguła równoległoboku. Ale boki naszego równoległoboku mają równe długości (oba mają długość 1), zatem jest to romb. Suma naszych liczb jest więc przekątną rombu, czyli dzieli jego kąt wewnętrzny na dwie równe części.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ 0<\psi<\varphi<\frac{\pi}{2}.}\) Kiedy to sobie narysujesz, zobaczysz, że \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z_1+z_2)}=\frac{\varphi-\psi}{2}.}\)

Myślę, że dasz radę dokończyć.

-- 3 listopada 2011, 16:06 --

Zrobiłem błąd. Powinno być \(\displaystyle{ \frac{\varphi+\psi}{2}}\) na końcu.