równanie w liczbach zespolonych

[gaabryysiaa1992]

mam do rozwiązania równanie \(\displaystyle{ z+i=\overline{z+i}}\)

[ymar]

mam do rozwiązania równanie \(\displaystyle{ z+i=\overline{z+i}}\)

Cześć, Gabrysia.

Dobrym pomysłem wydaje się rozpisanie liczby \(\displaystyle{ z}\) na część rzeczywistą i urojoną. Przyjmijmy

\(\displaystyle{ z=x+iy.}\)

Twoje równanie ukazuje nam się teraz w postaci:

\(\displaystyle{ x+iy+i=\overline{x+iy+i}.}\)

Zapiszmy to teraz tak, żeby widać było jakie są część rzeczywista i urojona liczby po prawej stronie. W tym celu wyłączymy sobie \(\displaystyle{ i}\) przed nawias. Otrzymujemy

\(\displaystyle{ x+i(y+1)=\overline{x+i(y+1)}.}\)

Jak rozumiem, wiesz co oznacza ta kreska u góry. Przypomnę. Oznacza ona zostawienie w liczbie zespolonej części rzeczywistej bez zmian i zmianę znaku części urojonej. Zróbmy to.

\(\displaystyle{ x+i(y+1)=x-i(y+1).}\)

To jest dobra postać równania, bo liczby zespolone po prawej i lewej stronie łatwo teraz porównać. Otóż dwie liczby zespolone są równe wtedy, gdy mają równe części rzeczywiste i równe części urojone.

Część rzeczywista lewej strony to \(\displaystyle{ x}\). Prawej też \(\displaystyle{ x}\). Otrzymujemy więc równanie

\(\displaystyle{ x=x,}\)

które jest oczywiście tożsamościowe. Każda liczba rzeczywista \(\displaystyle{ x}\) je spełnia.

Część urojona lewej strony to \(\displaystyle{ y+1.}\) Prawej: \(\displaystyle{ -(y+1)}\). Otrzymujemy stąd równanie

\(\displaystyle{ y+1=-(y+1),}\)

czyli

\(\displaystyle{ y=-1.}\)

Stąd każda liczba zespolona postaci \(\displaystyle{ x-i,}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą rzeczywistą jest rozwiązaniem Twojego równania i tylko te liczby są rozwiązaniami.

A teraz inne rozwiązanie, może bardziej pouczające.

Podstawmy \(\displaystyle{ t=z+i}\) do Twojego równania. Otrzymujemy

\(\displaystyle{ t=\overline{t}.}\)

Kiedy liczba zespolona \(\displaystyle{ t}\) jest równa swojej liczbie sprzężonej? Oczywiście wtedy, gdy \(\displaystyle{ t}\) jest tak naprawdę liczbą rzeczywistą. Zwróć uwagę, że liczba sprzężona do liczby zespolonej to na płaszczyźnie zespolonej punkt symetryczny względem osi rzeczywistej. Tylko punkty tej osi pozostają w tej symetrii niezmienione.

Zatem faktycznie zbiorem rozwiązań naszego równania z \(\displaystyle{ t}\) jest zbiór liczb rzeczywistych. Ale \(\displaystyle{ z=t-i,}\) czyli zbiorem rozwiązań równania wyjściowego jest zbiór liczb rzeczywistych "pomniejszonych" o \(\displaystyle{ i.}\)