Wyciąganie minusa z pierwiastka zespolonego

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
janas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 17 lis 2006, o 18:47
Płeć: Kobieta
Podziękował: 6 razy

Wyciąganie minusa z pierwiastka zespolonego

Post autor: janas »

Czy zawsze zachodzi równość (dla \(\displaystyle{ z\in\mathbb{C}}\)) \(\displaystyle{ \sqrt[n]{-z}=-\sqrt[n]{z}}\)?
Ewentualnie jaka jest różnica (podaj o kontrprzykład albo uzasadnienie)?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Wyciąganie minusa z pierwiastka zespolonego

Post autor: Lorek »

Kontrprzykład: \(\displaystyle{ n=2, z=1}\). Zachodzić to będzie chyba tylko dla \(\displaystyle{ n=1\vee z=0}\). Uzasadnienie, hm... można się "pobawić" wzorami na pierwiastki.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Wyciąganie minusa z pierwiastka zespolonego

Post autor: Dasio11 »

Trochę więcej. Prawdą jest, że

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{-z} = \varepsilon \cdot \sqrt[n]{z}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon}\) jest losowo wybraną wartością \(\displaystyle{ \sqrt[n]{-1}.}\) Wzór będzie zatem prawdziwy dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\) bo tylko dla takich

\(\displaystyle{ (-1)^n = -1.}\)

I oczywiście gdy \(\displaystyle{ z=0}\) to wzór zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ n,}\) jak napisał Lorek.
ODPOWIEDZ