Czy zawsze zachodzi równość (dla \(\displaystyle{ z\in\mathbb{C}}\)) \(\displaystyle{ \sqrt[n]{-z}=-\sqrt[n]{z}}\)?
Ewentualnie jaka jest różnica (podaj o kontrprzykład albo uzasadnienie)?
Wyciąganie minusa z pierwiastka zespolonego
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Wyciąganie minusa z pierwiastka zespolonego
Kontrprzykład: \(\displaystyle{ n=2, z=1}\). Zachodzić to będzie chyba tylko dla \(\displaystyle{ n=1\vee z=0}\). Uzasadnienie, hm... można się "pobawić" wzorami na pierwiastki.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Wyciąganie minusa z pierwiastka zespolonego
Trochę więcej. Prawdą jest, że
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{-z} = \varepsilon \cdot \sqrt[n]{z}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon}\) jest losowo wybraną wartością \(\displaystyle{ \sqrt[n]{-1}.}\) Wzór będzie zatem prawdziwy dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\) bo tylko dla takich
\(\displaystyle{ (-1)^n = -1.}\)
I oczywiście gdy \(\displaystyle{ z=0}\) to wzór zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ n,}\) jak napisał Lorek.
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{-z} = \varepsilon \cdot \sqrt[n]{z}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon}\) jest losowo wybraną wartością \(\displaystyle{ \sqrt[n]{-1}.}\) Wzór będzie zatem prawdziwy dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\) bo tylko dla takich
\(\displaystyle{ (-1)^n = -1.}\)
I oczywiście gdy \(\displaystyle{ z=0}\) to wzór zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ n,}\) jak napisał Lorek.