Pierwiastkowanie i postać wykładnicza liczby zespolonej

[Pancake]

Proszę o pomoc w następujących zadaniach:

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{(1+2i) ^{8}}}\) - tutaj próbowałam z postacią trygonometryczną, ale cosinus wychodzi mi taki, że nie mam jak znaleźć kąta.

\(\displaystyle{ \sqrt[8]{-8i}}\) czy tutaj muszę wypisywać wszystkie 8 pierwiastków? i jak przejść z postaci trygonometrycznej do zwykłej, skoro kąt to np. 3/16 \(\displaystyle{ \pi}\)

\(\displaystyle{ (1+i)^{4} (\overline{z})^{5} = z^{4} i^{6}}\)

Z góry bardzo dziękuję

[alfgordon]

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}(\cos \frac{\phi }{n} +i\sin \frac{\phi }{n} )(\cos (\frac{2\pi }{n}) \cdot k +i\sin (\frac{2\pi }{n}) \cdot k )}\)


\(\displaystyle{ (1+2i)^8 =((1+2i)^2 )^4 =(4i-3)^4}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[4]{(4i-3)^4 }=(4i-3)(\cos (\frac{2\pi }{4}) \cdot k +i\sin (\frac{2\pi }{4}) \cdot k )}\)
\(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\)

wstawiasz za \(\displaystyle{ k}\) kolejne liczby

[Lorek]

\(\displaystyle{ \sqrt[8]{-8i}}\) czy tutaj muszę wypisywać wszystkie 8 pierwiastków? i jak przejść z postaci trygonometrycznej do zwykłej, skoro kąt to np. 3/16 \(\displaystyle{ \pi}\)

Możesz znaleźć jeden, tyle, że wtedy i tak musisz wyznaczyć wszystkie pierwiastki 8 stopnia z 1.

\(\displaystyle{ (1+i)^{4} (\overline{z})^{5} = z^{4} i^{6}}\)

Co się da to policz, a potem zamień na postać wykładniczą.