liczby zespolone

[benditos]

Witam, niedawno rozpocząłem studia. Wykładowca tłumaczy nam zadania tak, jakbyśmy wszystko już rozumieli, dlatego proszę o pomoc w zadaniu.

Obliczyć:

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{1989}}\)

[aalmond]

Najpierw trzeba liczbę w nawiasach przedstawić w postaci trygonometrycznej, tzn. znaleźć moduł i argument.

[benditos]

Czyli:
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\left( \frac{1}{2}\right) ^{2} + \left( - \frac{ \sqrt{3}}{2}\right) ^{2}}= \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} } = 1\\ \\
\begin{cases}
\cos \phi = \frac{1}{2} \\
\sin \phi = - \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases} \\ \\
\phi = 2\pi - \alpha_{0} \\
\alpha_{0}= \frac{\pi}{3} \\
\phi = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{3}\pi \\ \\
z = 1 \cdot \left(\cos \frac{5}{3}\pi + i \cdot \sin \frac{5}{3}\pi \right)^{1989}\\ \\
\cos1898 \cdot \frac{5}{3}\pi + i \cdot \sin1898 \cdot \frac{5}{3}\pi = \cos3315\pi + i \cdot \sin3315\pi}\)

Wszystko tak jak trzeba?
Czy coś z tym trzeba jeszcze zrobić?

[aalmond]

Dobrze. Wróć teraz do postaci algebraicznej.