proste równanie

[scav3r]

\(\displaystyle{ z^2+i=0}\)
jak rozwiązać takie równianie? mianowicie dochodze do delty i dalej nie wiem co zrobić.
\(\displaystyle{ \Delta \ = \ -4i}\)
co dalej z tym zrobić?

[aalmond]

Możesz liczyć jak każde równanie kwadratowe.
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 2 \sqrt{-i}}\) itd.

albo od razu:
\(\displaystyle{ z ^{2} = -i \\
z = \sqrt{-i}}\)
i ze wzoru wyliczyć pierwiastki

[scav3r]

jednak nadal coś mi nie wychodzi...
\(\displaystyle{ z_{1}= \frac{2 \sqrt{-i}}{2}}\) i \(\displaystyle{ z_{1}= \ - \ \frac{2 \sqrt{-i}}{2}}\)

w odpowiedziach mam inne wyniki

[aalmond]

Musisz wyliczyć pierwiastek z \(\displaystyle{ -i}\). Dokładnie dwa pierwiastki.

[scav3r]

dzięki wielkie już prawie kapuje, ale mam jeszcze jedno pytanie.
Jak poprawnie zdefiniować taki zapis :
\(\displaystyle{ z_{1}= \frac{2 \sqrt{-i}}{2}}\) i \(\displaystyle{ z_{1}= \ - \ \frac{2 \sqrt{-i}}{2}}\)
bo skoro tutaj mam dwa rozwiązania dla z1 i z2 a dla \(\displaystyle{ \sqrt{-i}}\) również dwa rozwiązania
to wyjdą łącznie chyba cztery rozwiązania dla \(\displaystyle{ z}\)?

[Psiaczek]

Ja bym zrobił tak:

\(\displaystyle{ (x+yi)^2+i=0;x,y \in R}\)

\(\displaystyle{ x^2+2xyi-y^2+i=0}\)

\(\displaystyle{ (x^2-y^2)+(2xy+1)i=0}\)

porównując części rzeczywiste i urojone po obu stronach otrzymujemy układ

\(\displaystyle{ x^2-y^2=0, 2xy+1=0}\)

z pierwszego równania \(\displaystyle{ x=y \vee x=-y}\) itd..

otzymujemy dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x=- \frac{ \sqrt{2} }{2},y=\frac{ \sqrt{2} }{2} \vee x=\frac{ \sqrt{2} }{2},y=-\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

i masz \(\displaystyle{ z=-\frac{ \sqrt{2} }{2}+\frac{ \sqrt{2} }{2}i \vee z=\frac{ \sqrt{2} }{2}-\frac{ \sqrt{2} }{2}i}\)

[aalmond]

to wyjdą łącznie chyba cztery rozwiązania dla z?

rozwiązania będą się powtarzać