znaleźć pozostałe pierwiastki

[konrad18m]

\(\displaystyle{ w(z)=z ^{4} -z ^{3} +z ^{2} +9z-10

z _{1} =1+2i


z _{2} =1-2i


(z-1+2i)(z-1-2i)=z ^{2} -1}\)

i tu się zgubiłem, za nic w swiecie nie chce mi wyjsc prawidłowy iloraz wielomianu. czy moglby mi ktos napisać co podzielil przez co, ze wyszlo prawidlowo? ;|. Z góry dziękuje.

[Qń]

\(\displaystyle{ (z-1+2i)(z-1-2i)=z ^{2} -1}\)

To nieprawda. Policz jeszcze raz.

Q.

[konrad18m]

\(\displaystyle{ z ^{2} +1}\)

-- 30 paź 2011, o 22:06 --

i co dalej?

-- 30 paź 2011, o 22:11 --

\(\displaystyle{ \frac{z ^{3} +9z-10}{z ^{2} +1} =10z-10 ?


z _{3} =1+i


z _{4} =1-i ??}\)

[Qń]

Nie mam pojęcia co robisz, w gruncie rzeczy nie wiem też jaka jest treść zadania.

Tytuł wątku sugerowałby, że są podane dwa pierwiastki równania, a polecenie brzmi: znaleźć pozostałe.

Intuicja zaś podpowiada, że nieuważnie zanotowałeś w zeszycie to co było na zajęciach bądź też nieuważnie przepisałeś z notatek. Zgaduję, że nie jest podane nic poza równaniem, a polecenie brzmi: rozwiązać równanie.

To zaś robi się w tym wypadku łatwo: korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych łatwo znaleźć pierwiastki \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -2}\), a z tą wiedzą wystarczy podzielić wielomian przez \(\displaystyle{ (z-1)(z+2)}\). Istotnie też pozostałymi pierwiastkami będą \(\displaystyle{ 1-2i,1+2i}\).

Q.

[konrad18m]

Znając jeden z pierwiastków podanego wielomianu rzeczywistego znaleźć pozostałe
pierwiastki: \(\displaystyle{ w(z)=z ^{4}-z ^{3}+z ^{2}+9z-10 , z _{1}=1+2i}\)

[Qń]

W takim razie wiadomo, że pierwiastkiem jest także \(\displaystyle{ 1-2i}\), a zatem wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (z-1-2i)(z-1+2i)}\). Wystarczy zatem prawidłowo wymnożyć, a następnie podzielić wielomian przez to wyrażenie.

Q.

[konrad18m]

to \(\displaystyle{ z ^{2} + 1}\) nie jest prawidłowym wymnożeniem?

[Qń]

Nie.

Q.

[konrad18m]

wszystkie składniki przez siebie mam pomnożyc tak? a jak mnoże z *2i to jak to wyjdzie?


i pomijam?

-- 30 paź 2011, o 22:57 --

\(\displaystyle{ (z-1-2i)(z-1+2i)=z ^{2} -z+2z+z+1-2-2z+2-4=z ^{2} -1.}\) Naprawde to jest źle? Błagam pomóż mi bo juz mnie oczy bolą i moja frustracja sięga zenitu...

[Qń]

Tak, jest źle i widać to od razu - skoro szukamy trójmianu, którego pierwiastkami są \(\displaystyle{ 1-2i,1+2i}\) to nijak nie może to być ani \(\displaystyle{ z^2+1}\) (który ma pierwiastki \(\displaystyle{ i,-i}\)), ani też \(\displaystyle{ z^2-1}\) (który ma pierwiastki \(\displaystyle{ 1,-1}\)).

Wskazówka:
\(\displaystyle{ (z-(1-2i))(z-(1+2i))=z^2-z(1-2i+1+2i)+(1-2i)(1+2i)}\)

Q.

[konrad18m]

ehhh... nie wiem....

[Qń]

Ale czego nie wiesz? Nie umiesz wykonać dodawania \(\displaystyle{ 1-2i+1+2i}\) czy mnożenia \(\displaystyle{ (1-2i)(1+2i)}\)?

Q.

[konrad18m]

\(\displaystyle{ z ^{2} -4i + 2}\)?

[Qń]

Źle. Użyj wzoru na różnicę kwadratów.

Q.