znalezienie części rzeczywistej i części urojonej liczby

[desert]

prosiłbym o wytłumaczenie na tym prostym przykładzie jak poprawnie wyznaczyć część urojoną i rzeczywistą. Mam do wyznaczenia te części z :
\(\displaystyle{ \ln i}\)
zacząłem tak :
\(\displaystyle{ \ln a = \ln |a| +(\text{Arg}\: a + 2k\pi)i\\
|a|=1 \\
\cos \alpha = \frac{x}{|a|} = 0 \\
\sin \alpha = \frac{x}{|a|} = 1\\
\text{ więc } \text{Arg}\: a = \frac{\pi}{2}}\)

więc wychodzi
\(\displaystyle{ \ln i = \ln 1 + \left( \frac{\pi}{2} +2k \pi \right) i}\)
więc urojona część jest równa \(\displaystyle{ \ln z = \left( \frac{\pi}{2} +2k \pi \right) i}\)
ale co zrobić z tym \(\displaystyle{ \ln 1}\) jak wyznaczyć część rzeczywistą??

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \ln 1 = \ln | \mathrm i |}\) jest już logarytmem w sensie rzeczywistym (choć to właściwie nie ma znaczenia), więc jego wartość wynosi \(\displaystyle{ 0.}\)

[desert]

a można trochę jaśniej?
to jak rozwiązywać logarytmy typu
\(\displaystyle{ \ln 1 \\
3\ln 5 \\
\ln 6}\)
?

[Dasio11]

To zależy. Logarytm naturalny w liczbach rzeczywistych jest zwykłą funkcją \(\displaystyle{ \ln : (0, \infty) \to \mathbb R,}\) więc

\(\displaystyle{ \ln 1 = 0 \\
3 \ln 5 = 3 \ln 5 \\
\ln 6 = \ln 2 + \ln 3}\)

i koniec.
Z kolei logarytm naturalny w liczbach zespolonych jest funkcją wieloznaczną, tzn. przyjmuje wiele wartości dla jednego argumentu. Wszystkie wartości dla jednego argumentu różnią się o wielokrotność \(\displaystyle{ 2 \pi \mathrm i,}\) dlatego liczymy tak zwany logarytm główny liczby, a następnie do wyniku dopisujemy \(\displaystyle{ +2k \pi \mathrm i.}\)

Logarytm główny to nic innego jak

\(\displaystyle{ \text{Ln} \; z = \ln |z| + \mathrm i \text{Arg} \; z}\)

gdzie \(\displaystyle{ \ln}\) to logarytm naturalny w l. rzeczywistych.