Równania liczby zespolone

[Zao90]

witam , mógłby ktoś wyjaśnić jak rozwiązywać takie równania ?? zupełnie nie wiem jak to ugryźć ?

mamy równanie takie jak to :

\(\displaystyle{ z^{2}-5z+7+i=0}\)

robię tak jak normlne , kwadratowe , i mam :

\(\displaystyle{ \Delta=25-4\left( 7+i\right)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-3-4i}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \sqrt{-3-4i}}\)

i dalej nie wiem jak :/ , liczę tak , ale dziwnie wychodzi:

\(\displaystyle{ k=\sqrt{-3-4i}}\)

podnoszę stronami do kwadratu , nie wiem czy to dobrze :/

\(\displaystyle{ k^{2}=5\left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) \\
\cos \alpha = \frac{-3}{5} \sin \alpha = \frac{-4}{5} \\
k= 5^{2} \left( \cos-3 , i\sin-4\right)}\)

nie wiem co dalej , pewnie gdzieś się walnąłem , albo wszystko robię źle , ale nie wiem totalnie jak to robić :/

jeszcze jak by ktoś mógł wyjaśnić te przykłady :

1.
\(\displaystyle{ z^{2}=i}\)
2.
\(\displaystyle{ z^{2}=1}\)
3.
\(\displaystyle{ z\bar{z}+z-\bar{z}=3+2i}\)
4.
\(\displaystyle{ zi+3-5i=0}\)

z tym \(\displaystyle{ \bar{z}}\) w ogóle nie wiem jak się za to zabrać , \(\displaystyle{ \bar{z} = a-bi}\) i tyle wiem :/

[ares41]

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=a+bi \\ \Delta=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi}\)

I porównujesz część rzeczywistą i urojoną.

[desert]

a czemu przy a i b opusciles kwadraty? co do czego porównać?

[ares41]

Przepraszam, literówka.

Mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-b^2=-3\\ 2ab=-4 \end{cases}}\)

[Zao90]

no ok , obliczyłem , wyszły mi pary \(\displaystyle{ a=1 b=2}\) i \(\displaystyle{ a=-1 b =-2}\) i co dalej z tym :/

[ares41]

Źle. Powinno wyjść
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=-2 \end{cases} \vee \begin{cases} a=-1 \\ b=2 \end{cases}}\)

Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\pm(1-2i)}\)

Podstawiasz do wzoru na pierwiastki.

[Zao90]

fakt , obliczyłem , podstawiłem , \(\displaystyle{ z_1 = 2+i}\) a \(\displaystyle{ z_2=3-1}\) , a co do zadania nr 4 co napisałem w 1 poście , mozna to tak robić :
\(\displaystyle{ zi+3-5i=0 \\ \\
zi=-3+5i \\
z= \frac{-3+5i}{i} \\
z= \frac{-3}{i}+ \frac{5i}{i} \\
z= \frac{-3}{i}+5}\)

i tak wyszło , nie wiem , chyba źle , jak to robić :/

[ares41]

Co do poprzedniego to zamiast \(\displaystyle{ 3-1}\) powinno być \(\displaystyle{ 3-i}\)

Czwarte Ok. Tylko jeszcze wyrzuć \(\displaystyle{ i}\) z mianownika - pomnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ i}\).

[Zao90]

aha czyli ma wyjść \(\displaystyle{ z=-3i+5}\) ok , wielkie dzięki za pomoc , a co do 2 przykładu , można tak ??

\(\displaystyle{ z^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ z_1=1 \vee z_2=-1}\) ???

pewnie nie , ale nie wiem :/ a jeśli chodzi o przykład \(\displaystyle{ z^{2}=i}\) to już zupełnie nie wiem , coś się podstawia za \(\displaystyle{ i}\) ??

[ares41]

aha czyli ma wyjść\(\displaystyle{ z=-3i+5}\)

Nie.
\(\displaystyle{ \frac{-3}{i} = \frac{-3 i}{i^2}= \frac{-3i}{-1}=3i}\)

Drugie Ok.

Pierwsze:
Zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ z=a+bi}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R}}\) lub zapisz \(\displaystyle{ i}\) w postaci trygonometrycznej i skorzystaj ze wzorów na pierwiastki.

[Zao90]

aha no fakt , dzięki za pomoc , gubię te plusy i minusy :p będę próbował jak coś to będe pisał