liczby zespolone, wzór Moivre'a

[pawelbizu]

1.Oblicz:

a) \(\displaystyle{ \left( \frac{1+i}{ \sqrt{2} } \right) ^{26}}\)

Przedstawiam swoje obliczenia:
1. Sprowadzam iloraz do postaci liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ \frac{1+i}{ \sqrt{2} } = \frac{ \left( 1+i \right) }{ \sqrt{2} } \cdot \frac{ \left( - \sqrt{2} \right) }{ \left( - \sqrt{2} \right) } = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2} i }{-2} = \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} i}\)

\(\displaystyle{ z = 1\\
\alpha = \frac{7}{4} \pi}\)

Czy do tej pory wszystko robię dobrze ?

[JakimPL]

Bez wzoru de Moivre'a:

Zauważ, że: \(\displaystyle{ (i+1)^2=2i}\)

[pawelbizu]

Chciałbym tylko zapytać czy do tej pory wszystko jest ok?
Czy przy dzieleniu dwóch liczb zespolonych mianownik w drugim czynniku jest liczbą sprzężoną?
czyli: \(\displaystyle{ \frac{- \sqrt{2} }{- \sqrt{2} }}\) ?

[JakimPL]

Kąt jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), w ostatniej części źle rozdzieliłeś minusy, powinna być suma, nie różnica.

W zasadzie niepotrzebnie robisz takie cuda - w mianowniku nie masz liczby zespolonej, więc ciężko mówić tu o liczbie sprzężonej, prędzej już to usuwanie niewymierności .

Prościej:

\(\displaystyle{ \left( \frac{1+i}{ \sqrt{2} } \right) ^{26} = \frac{\left(1+i\right) ^{26}}{ \left(\sqrt{2}\right) ^{26} } = \frac{1}{2^{13}} \cdot (i+1)^{26}}\)

Dalej interesuje Cię tylko ta liczba zespolona, podnosisz ją osobno do potęgi \(\displaystyle{ 26}\), na końcu to co otrzymasz, przemnażasz przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{13}}}\).

[pawelbizu]

Dziękuję za odpowiedź.

[marlush]

mam to samo zadanie do zrobienia

\(\displaystyle{ \left( \frac{1-i}{ \sqrt{2} } \right) ^{26}}\)
i wyszło mi z tego:

\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{26} \left( \cos \left( 26\cdot \frac{7\cdot \pi }{4} \right) +i \sin \left( 26\cdot \frac{7\cdot \pi }{4} \right) \right) =-i}\)

hm, dobrze?

[JakimPL]

EDIT: Jest ok, ale popraw zapis, w drugim równaniu nie napisałaś mianownika, który powinien się skrócić .