Zaznaczyć na plaszczyźnie Gaussa zbiór spełniający warunek

[marlush]

\(\displaystyle{ Re(2+iz) \le 0}\)
\(\displaystyle{ 2+i(x+iy) \le 0}\)
\(\displaystyle{ 2+xi+i^2y \le 0}\)
\(\displaystyle{ 2+xi-y \le 0}\)
\(\displaystyle{ 2-y \le 0}\)
\(\displaystyle{ -y \le -2//:(-1)}\)
\(\displaystyle{ y \ge -2}\)

I na wykresie wychodzi mi, że to punkty leżące na osi Y od -2 do \(\displaystyle{ + \infty}\)

Moje pytanie jest następujące- czy dobrze zrobiłam ten przykład? Nie jestem pewna czy go dobrze zrozumiałam, bardzo proszę o wszelkie wskazówki.

[miodzio1988]

Zapis do bani. Za wcześnie gubisz \(\displaystyle{ Re}\)

[scyth]

Po pierwsze - zapominasz o pisaniu \(\displaystyle{ Re}\).
Po drugie: \(\displaystyle{ -2 \cdot (-1) = 2}\)

[marlush]

tak, wiem, że \(\displaystyle{ -2 \cdot (-1)=2}\) czeski błąd przy wpisywaniu w latexie

jak to za wcześnie gubię Re? Bo ja zrozumiałam treść przykładu, że część rzeczywista wyrażenia z nawiasu jest mniejsza bądź równa 0. Źle zrozumiałam?

no i chciałam powiedzieć, że po długiej przerwie w nauce (ponad 6 lat) przyszło mi się zmierzyć z liczbami zespolonymi i nie wszystko rozumiem

[scyth]

Jeśli w liczbie jest \(\displaystyle{ i}\) - nadal jest to liczba zespolona. W zbiorze liczb zespolonych nie ma porządku, nie ma sensu zapis:
\(\displaystyle{ a+ib \ge 0}\)
dlatego powinnaś pisać o części rzeczywistej aż do momentu:
\(\displaystyle{ Re(2+xi-y) \le 0}\)
Widać, że częścią rzeczywistą tej liczby jest \(\displaystyle{ 2-y}\) a urojoną \(\displaystyle{ x}\), zatem:
\(\displaystyle{ 2-y \le 0 \\
y \ge 2}\)

[marlush]

czyli rozumowanie dobre, ale zapis nie taki. A na wykresie zaznaczyć półprostą na osi Y zaczynającą się od punktu \(\displaystyle{ (0,2)}\) do \(\displaystyle{ + \infty}\) zgadza się teraz?

Na wykładzie był jeszcze taki przykład, którego nie rozumiem
\(\displaystyle{ 2 \le |z|<3}\)
\(\displaystyle{ |z|=2}\)
\(\displaystyle{ |z|=3}\)

i na wykresie okrąg o promieniu 2 i drugi (linia przerywana) o promieniu 3, wszystko co pomiędzy zaciemnione.

Moje pytanie: skąd się wzięły takie wyniki modułu z z?

[scyth]

Dlaczego półprostą? Jest to prosta o równaniu \(\displaystyle{ y=2}\).

Niech \(\displaystyle{ z=a+ib}\). Ile wynosi \(\displaystyle{ |z|}\)?

[marlush]

\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}}\)?

[scyth]

Tak, gdzie \(\displaystyle{ a}\) to współrzędna na osi \(\displaystyle{ OX}\) a \(\displaystyle{ b}\) na \(\displaystyle{ OY}\). Dalej:
\(\displaystyle{ 2 \le \sqrt{a^2+b^2} < 3}\)
coś Ci to przypomina?

[marlush]

ok, wróciłam do zeszytu, poprzypominałam sobie zamierzchłe czasy liceum i już wiem skąd to się wzięło równanie koła (a w zasadzie dwóch) o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(0,0)}\) i promieniach odpowiednio \(\displaystyle{ r _{1} =2}\) i \(\displaystyle{ r _{2}=3}\)


kolejny problem jednak napotkałam w takim przykładzie:

\(\displaystyle{ \left| z+1\right|<\left| 1-z\right|}\)
doszłam do postaci, z której już nie potrafię wyjść
\(\displaystyle{ (x+1)^2+y^2<(-x+1)^2-y^2}\)

jakieś podpowiedzi, wskazówki? czy mam to rozwiązywać ze wzoru skróconego mnożenia czy znowu czegoś nie widzę, a powinnam?

[Dasio11]

Prawie dobrze. Powinno być

\(\displaystyle{ (x+1)^2+y^2 < (1-x)^2+(-y)^2}\)

więc można skrócić \(\displaystyle{ y^2}\) po obu stronach, resztę wymnożyć - dużo się skróci.

[joe74]

zadanie 1

\(\displaystyle{ Re(2+iz) \le 0}\)

\(\displaystyle{ Re\left( 2 - y +xi \right) \le 0}\)

\(\displaystyle{ 2 - y \le 0}\)

\(\displaystyle{ y \ge 2}\)

Rozwiązaniem jest półpłaszczyzna leżąca nad prostą y = 2. wraz z tą prostą (końce liczb zespolonych "z" spełniających zadaną nieówność muszą mieć tam swoje końce). Rozwiązaniem nie jest prosta y = 2, ani punkty leżące na osi Oy od -2 do \(\displaystyle{ \infty}\).

[marlush]

dzięki joe74, już sobie wcześniej poradziłam z tym zadaniem. ale miło z Twojej strony, że napisałeś, przynajmniej mam pewność, że dobrze rozwiązałam.
\(\displaystyle{ \overline{z+i}=z+1}\) wszystko fajnie, ale wychodzi mi, że\(\displaystyle{ x=x+1}\)
najpierw podstawiam \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i znak zmieniam przed elementami zawierającymi \(\displaystyle{ i}\), zgadza się? a później rzeczywiste z lewej do rzeczywistych z prawej i urojone z lewej do urojonych z prawej? wtedy właśnie wychodzi \(\displaystyle{ x=x+1}\)

[Dasio11]

Dobrze ci wychodzi. To oznacza, że równanie jest sprzeczne.

[marlush]

dziękuję, już miałam straszne wątpliwości co do tego czy dam sobie radę z tym tematem. dużo mi wszyscy rozjaśniliście -- 30 paź 2011, o 09:03 --kolejne dwa zadania, które sprawiają mi potężny problem
\(\displaystyle{ (cos \frac{ \pi }{3}+isin\frac{ \pi }{3})^6}\)


\(\displaystyle{ (sin \frac{ \pi }{6}+icos \frac{ \pi }{6} )^{12}}\)

wiem, że wzór to
\(\displaystyle{ \left| z\right|^n=(cos (n\cdot \alpha)+isin(n\cdot \alpha))}\) ale nie wiem jak to podstawić w tych dwóch przypadkach