Zaznacz zbiór punktów na płaszczyźnie

[crucifix]

Witam, mam problem z takim zadaniem:

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Zaznacz na płaszczyźnie następujące zbiory:
a) \(\displaystyle{ Re[z ^{2} ]>Re[ \frac{1}{z ^{2} } ]}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{3}{4}\pi>Arg[z ^{2} ]> \frac{1}{4}\pi}\)

Jak wyznaczyć \(\displaystyle{ Re}\) z liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{z ^{2} }}\) ?.
Jak wyznaczyć \(\displaystyle{ Arg[z ^{2} ]}\) ?

[octahedron]

\(\displaystyle{ a)}\)
Wygodniej będzie w postaci wykładniczej:

\(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}\\
z^2=r^2e^{2i\varphi}\\
\frac{1}{z^2}=\frac{1}{r^2e^{2i\varphi}}=\frac{1}{r^2}e^{-2i\varphi}\\
Re z^2=r^2\cos (2\varphi)\\
Re \frac{1}{z^2}=\frac{1}{r^2}\cos (-2\varphi)=\frac{1}{r^2}\cos (2\varphi)\\
Re z^2>Re \frac{1}{z^2}\\
r^2\cos (2\varphi)>\frac{1}{r^2}\cos (2\varphi)\\
\left(r^2-\frac{1}{r^2}\right) \cos (2\varphi)>0\\
\begin{cases}\cos 2\varphi>0\\r>1\end{cases}\ \vee\ \begin{cases}\cos 2\varphi<0\\r<1\end{cases}\\
\begin{cases}\varphi\in\left( -\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right)\cup\left( \frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right)\\r>1\end{cases}\ \vee\ \begin{cases}\varphi\in\left( \frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left( -\frac{\pi}{4};-\frac{3\pi}{4}\right)\\r<1\end{cases}\\}\)

\(\displaystyle{ b)\
z=re^{ivarphi}\
mbox{Arg}z^2= egin{cases}2varphi, varphiin[0,pi)\2varphi-2pi, varphiin[pi,2pi)end{cases}\
egin{cases}frac{3pi}{4}>2varphi>frac{pi}{4}\0le varphi<piend{cases} vee egin{cases}frac{3pi}{4}>2varphi-2pi>frac{pi}{4}\pile varphi<2piend{cases}\
egin{cases}frac{3pi}{8}>varphi>frac{pi}{8}\0le varphi<piend{cases} vee egin{cases}frac{3pi}{8}+pi>varphi>frac{pi}{8}+pi\pile varphi<2piend{cases}\
varphiinleft( frac{pi}{8};frac{3pi}{8}
ight)cupleft( frac{9pi}{8};frac{11pi}{8}
ight)\}\)

[crucifix]

Dziękuję za pomoc, teraz muszę to powoli strawić