zaznaczyć zbiory na płaszczyźnie

[piorko_92]

witam, prosze o pomoc w dwóch przykładach. Polecenie brzmi : znaleźć i naszkicować na płaszczyźnie zespolonej zbiory:
1)\(\displaystyle{ \left| z-1\right|+ \left| z+1 \right| = 2}\)
2) \(\displaystyle{ Im((\overline{z}) ^{3})<0}\)

wiem, że rozwiązaniem pierwszego przykładu jest zbiór na osi \(\displaystyle{ Rex}\) \(\displaystyle{ \left[ -1;1\right]}\)
ale interesuje mnie czy można to rozwiązać nie tylko na to co widze, ale czy da się to rozwiązać algebraicznie, tak żeby ten przedział wyszedł.

A co do drugiego to podnosze sprzężenie \(\displaystyle{ x - iy}\) do potęgi trzeciej i potem wybieram część urojoną z tego i ostatecznie otrzymuje nierówność
\(\displaystyle{ y ^{3} -3x ^{2}y <0}\)
ale nie wiem jak ją zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej.
Z góry dziękuje

[chris_f]

W obu przypadkach podstawiasz \(\displaystyle{ z=x+iy}\) (tak jak zrobiłeś w drugim), w pierwszym wyjdzie sporo rachunków, ale większość się pięknie uprości.
W drugim to co dostałeś:
\(\displaystyle{ y^3-3x^2y<0}\)
\(\displaystyle{ y(y^2-3x^2)<0}\)
\(\displaystyle{ y(y-x\sqrt{3})(y+x\sqrt{3})<0}\)
dostajemy przypadki (zapiszę w skrócie)
\(\displaystyle{ y<0\wedge (y-x\sqrt{3})<0\wedge (y+x\sqrt{3})<0}\)
\(\displaystyle{ y<0\wedge (y-x\sqrt{3})>0\wedge (y+x\sqrt{3})>0}\)
\(\displaystyle{ y>0\wedge (y-x\sqrt{3})<0\wedge (y+x\sqrt{3})>0}\)
\(\displaystyle{ y>0\wedge (y-x\sqrt{3})>0\wedge (y+x\sqrt{3})<0}\)
Po zaznaczeniu w układzie współrzędnych dostaniemy coś takiego

Oczywiście ponieważ nierówności są ostre to w tym obszarze nie ma brzegów (linii prostych).

[piorko_92]

no taak... jejku, co za banał... Dziękuje za pomoc i za wyrozumiałość w tłumaczeniu tak oczywistej oczywistości