Wyliczanie wzorów

[BlackSlash]

Wylicz wzory na:
\(\displaystyle{ a) \sin ( x)+ \sin ( 2x)+...+ \sin ( kx),\; x\epsilon \mathbb{R} \\
b) \cos ( x)+ \cos ( 2x)+...+ \cos ( kx),\; x\epsilon \mathbb{R}}\)

Wskazówka: Najpierw policz sumę \(\displaystyle{ e^{x}+e^{2x}+...+e^{nx},\; x\epsilon \mathbb{R}}\)

[Qń]

Zauważ, że ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego mamy:
\(\displaystyle{ e^x+e^{2x}+\ldots +e^{nx}=e^x\cdot \frac{e^{nx}-1}{e^{x}-1}}\)
Jeśli zastąpimy teraz \(\displaystyle{ x}\) przez \(\displaystyle{ ix}\) (przy czym nowe iks jest rzeczywiste), to otrzymamy równość:
\(\displaystyle{ \cos ( x)+ \cos ( 2x)+...+ \cos ( kx)+i (\sin ( x)+ \sin ( 2x)+...+ \sin ( kx))=e^{ix}\cdot \frac{e^{nix}-1}{e^{ix}-1}}\)
Wystarczy zatem uporządkować prawą stronę, to znaczy zapisać ją w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\), a następnie porównać części rzeczywiste i urojone obu stron.

Q.